matlab 面心立方晶格s态态密度

### 面心立方晶格 s 态的电子态密度计算与绘制

对于面心立方 (FCC) 晶格，其布里渊区内的能带结构和态密度是理解材料电学特性的重要工具。为了计算和绘制 FCC 晶格中 s 态的电子态密度，通常采用紧束缚近似或其他量子力学方法来求解薛定谔方程。

#### 使用 Matlab 进行态密度计算

在实际操作中，可以利用 Bloch 定理以及相应的数值积分技术实现这一目标。以下是具体的方法：

1. **构建哈密顿矩阵**

对于简单的 s 态情况，假设只考虑最近邻跃迁，则可以在 k 空间内写出如下形式的哈密顿量 H(k)，其中 t 表示跃迁积分[^1]。

function H = hamiltonian_s_state_fcc(t, k)
    % Define lattice vectors for face-centered cubic structure.
    a = 1; % Lattice constant set to unity for simplicity
    
    b1 = [-0.5*a, 0.5*a, 0.5*a];
    b2 = [0.5*a, -0.5*a, 0.5*a];
    b3 = [0.5*a, 0.5*a, -0.5*a];

    % Calculate reciprocal space points corresponding to nearest neighbors.
    G1 = pi * ([1, 1, 0]' / sqrt(2));
    G2 = pi * ([1, 0, 1]' / sqrt(2));
    G3 = pi * ([0, 1, 1]' / sqrt(2));

    % Construct the Hamiltonian matrix element at given wavevector 'k'.
    phase_factors = exp(-1i .* dot([G1; G2; G3], k))';
    
    H = zeros(1); % For single orbital per site we have just one by one matrix here.

    H(1,1) = sum(real(phase_factors*t)); % Real part because of Hermiticity condition.
end

2. **求解本征值问题**

接下来需要遍历整个第一布里渊区内一系列离散化的波矢点，并针对每一个 k 解决特征值问题以获取能量谱 E(k)。

% Parameters setup
t = -1; % Set hopping integral value as negative indicating attractive interaction between atoms.
N_kpoints = 50; % Number of sampling points along each direction within BZ.
Energies = [];

for i=1:N_kpoints
    for j=1:N_kpoints
        for l=1:N_kpoints
            kx = linspace(-pi/sqrt(2), pi/sqrt(2), N_kpoints)(i);
            ky = linspace(-pi/sqrt(2), pi/sqrt(2), N_kpoints)(j);
            kz = linspace(-pi/sqrt(2), pi/sqrt(2), N_kpoints)(l);

            k = [kx, ky, kz]';
            
            H = hamiltonian_s_state_fcc(t, k);
            eigs = eig(H);
            Energies = cat(2,Energies,eigs');
        end
    end
end

3. **计算态密度**

利用所得的能量分布，可以通过直方图统计法或者其他更精细的方式（比如高斯卷积）估算态密度 DOS(E)。

bin_edges = linspace(min(Energies(:)), max(Energies(:)), length(unique(Energies)));
histogram(Energies', bin_edges,'Normalization','pdf');

xlabel('Energy')
ylabel('Density Of States')
title('DOS for S-states in Face-Centered Cubic Lattice')
grid on;

此代码片段展示了如何使用 MATLAB 来模拟并可视化面心立方晶体结构下 s 轨道上的电子态密度。需要注意的是这只是一个简化的例子；真实应用可能涉及更多复杂的因素如自旋轨道耦合、多原子基底等。