有限元 高斯求积公式

有限元高斯求积公式是一种用于数值积分的方法，常用于有限元分析中。它是基于高斯求积公式的一种变形，用于近似计算给定区间上的积分。在有限元分析中，我们通常需要对连续函数在有限元单元上进行数值积分，以求得近似解。有限元高斯求积公式通过在每个有限元单元上选择合适的高斯点和权重，将积分转化为对这些高斯点上函数值的加权求和。这样可以提高数值积分的精度和效率。因此，有限元高斯求积公式在有限元分析中得到了广泛的应用。\[1\]\[2\]
#### 引用[.reference_title]
- *1* *2* *3* [高斯积分的基本理论](https://blog.csdn.net/Jinzhi_Guan/article/details/120941476)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^insert_down28v1,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item]
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相关问题

三角形元上的高斯求积公式

回答: 三角形元上的高斯求积公式是指在三角形区域上进行数值积分的方法。根据引用\[1\]中的定义，我们可以使用高斯求积公式来计算三角形区域上的积分。根据引用\[2\]中的公式，我们可以得到三角形区域上的面积Δ。而根据引用\[3\]中的公式，我们可以计算出三角形区域上的x^2的积分。这个公式是∫ x^2 dxdy = Δ/12(x_i^2 + x_j^2 + x_m^2)。这个公式可以用来计算三角形区域上的x^2的积分。
#### 引用[.reference_title]
- *1* *2* *3* [有限元中三角形的一些积分公式](https://blog.csdn.net/guihunkun/article/details/129287653)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^insert_down28v1,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item]
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c++编写五节点四面体有限元法求结点位移

五节点四面体有限元法是一种常用的有限元分析方法，可以用来求解结构的位移、应力等物理量。下面是一个简单的C++代码，用于实现五节点四面体有限元法求结点位移：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

const double PI = 3.141592653589793;
const int NODE_NUM = 5;
const int ELEM_NUM = 1;

double E = 2.0e11;     // 弹性模量
double nu = 0.3;       // 泊松比
double rho = 7800.0;   // 密度
double g = 9.81;       // 重力加速度

double X[NODE_NUM] = {0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0};
double Y[NODE_NUM] = {0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0};
double Z[NODE_NUM] = {0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0};
int connect[ELEM_NUM][NODE_NUM] = { {0, 1, 2, 3, 4} };

double K[NODE_NUM * 3][NODE_NUM * 3];   // 系数矩阵
double F[NODE_NUM * 3];                 // 右端向量
double U[NODE_NUM * 3];                 // 位移向量

double det4(double a[4][4])
{
    double b[3][3];
    for(int i=0; i<3; ++i)
        for(int j=0; j<3; ++j)
            b[i][j] = a[i+1][j+1];

    double cof1 = a[1][1]*a[2][2]*a[3][3] + a[1][2]*a[2][3]*a[3][1] + a[1][3]*a[2][1]*a[3][2];
    double cof2 = a[1][3]*a[2][2]*a[3][1] + a[1][1]*a[2][3]*a[3][2] + a[1][2]*a[2][1]*a[3][3];

    return cof1 - cof2;
}

void assemble()
{
    for(int i=0; i<NODE_NUM*3; ++i)
        for(int j=0; j<NODE_NUM*3; ++j)
            K[i][j] = 0.0;

    for(int e=0; e<ELEM_NUM; ++e)
    {
        int node[NODE_NUM];
        for(int i=0; i<NODE_NUM; ++i)
            node[i] = connect[e][i];

        double x[NODE_NUM], y[NODE_NUM], z[NODE_NUM];
        for(int i=0; i<NODE_NUM; ++i)
        {
            x[i] = X[node[i]];
            y[i] = Y[node[i]];
            z[i] = Z[node[i]];
        }

        double V = fabs(det4(  {{1.0, x[0], y[0], z[0]},
                               {1.0, x[1], y[1], z[1]},
                               {1.0, x[2], y[2], z[2]},
                               {1.0, x[3], y[3], z[3]}} ));

        // 计算单元刚度矩阵
        double Ke[NODE_NUM*3][NODE_NUM*3];
        for(int i=0; i<NODE_NUM*3; ++i)
            for(int j=0; j<NODE_NUM*3; ++j)
                Ke[i][j] = 0.0;

        double C = E / (1.0 - nu*nu);
        double D = C * nu;
        double E0 = C * (1.0 - nu) / (1.0 + nu) / (1.0 - 2.0*nu);
        double E1 = C / 2.0 / (1.0 + nu);

        double B[6][NODE_NUM*3];
        for(int i=0; i<6; ++i)
            for(int j=0; j<NODE_NUM*3; ++j)
                B[i][j] = 0.0;

        B[0][0] = B[3][3] = B[5][4] = 1.0 / V;
        B[1][1] = B[4][4] = B[5][3] = 1.0 / V;
        B[2][2] = B[4][3] = B[5][2] = 1.0 / V;
        B[3][1] = B[4][0] = B[5][1] = -1.0 / V;
        B[4][2] = B[5][0] = B[0][3] = -1.0 / V;
        B[5][4] = B[0][2] = B[1][0] = -1.0 / V;

        for(int i=0; i<NODE_NUM; ++i)
        {
            int ix = i * 3;
            Ke[ix][ix] += C * V;
            Ke[ix+1][ix+1] += C * V;
            Ke[ix+2][ix+2] += C * V;
        }

        for(int i=0; i<6; ++i)
        {
            double tmp[NODE_NUM*3];
            for(int j=0; j<NODE_NUM*3; ++j)
                tmp[j] = 0.0;

            for(int j=0; j<NODE_NUM; ++j)
            {
                int ix = j * 3;
                tmp[ix] = B[i][ix];
                tmp[ix+1] = B[i][ix+1];
                tmp[ix+2] = B[i][ix+2];
            }

            for(int j=0; j<NODE_NUM*3; ++j)
                for(int k=0; k<NODE_NUM*3; ++k)
                    Ke[j][k] += E0 * tmp[j] * tmp[k] * V + E1 * tmp[j] * tmp[k];
        }

        // 将单元刚度矩阵组装到全局刚度矩阵中
        for(int i=0; i<NODE_NUM; ++i)
        {
            int ix = node[i] * 3;
            for(int j=0; j<NODE_NUM; ++j)
            {
                int jx = node[j] * 3;
                for(int k=0; k<3; ++k)
                {
                    int ijk = ix + k;
                    int jkj = jx + k;
                    K[ijk][jkj] += Ke[ijk][jkj];
                }
            }
        }
    }
}

void solve()
{
    // 初始化右端向量
    for(int i=0; i<NODE_NUM*3; ++i)
        F[i] = 0.0;

    // 在右端向量中加入重力荷载
    for(int i=0; i<NODE_NUM; ++i)
    {
        int ix = i * 3;
        F[ix+1] -= rho * g;
    }

    // 固定边界条件
    for(int i=0; i<NODE_NUM; ++i)
    {
        int ix = i * 3;
        if(X[i] == 0.0 && Y[i] == 0.0 && Z[i] == 0.0)
        {
            for(int j=0; j<NODE_NUM*3; ++j)
            {
                K[ix][j] = 0.0;
                K[ix+1][j] = 0.0;
                K[ix+2][j] = 0.0;
            }
            K[ix][ix] = 1.0;
            K[ix+1][ix+1] = 1.0;
            K[ix+2][ix+2] = 1.0;
            F[ix] = 0.0;
            F[ix+1] = 0.0;
            F[ix+2] = 0.0;
        }
    }

    // 求解位移向量
    for(int i=0; i<NODE_NUM*3; ++i)
        U[i] = 0.0;

    for(int i=0; i<NODE_NUM*3; ++i)
    {
        if(K[i][i] == 0.0)
            continue;

        for(int j=i+1; j<NODE_NUM*3; ++j)
        {
            double factor = K[j][i] / K[i][i];
            for(int k=i+1; k<NODE_NUM*3; ++k)
                K[j][k] -= factor * K[i][k];
            F[j] -= factor * F[i];
        }
    }

    for(int i=NODE_NUM*3-1; i>=0; --i)
    {
        if(K[i][i] == 0.0)
            continue;

        U[i] = F[i] / K[i][i];

        for(int j=i-1; j>=0; --j)
            F[j] -= K[j][i] * U[i];
    }
}

void print_result()
{
    cout << "Node     X-Disp     Y-Disp     Z-Disp" << endl;
    for(int i=0; i<NODE_NUM; ++i)
    {
        int ix = i * 3;
        printf("%4d %10.4f %10.4f %10.4f\n", i, U[ix], U[ix+1], U[ix+2]);
    }
}

int main()
{
    assemble();
    solve();
    print_result();

    return 0;
}

在这个代码中，我们首先定义了一些常量和数组，包括弹性模量、泊松比、密度等物理量，以及节点坐标、单元连接关系等几何信息。然后，我们实现了一个 `assemble()` 函数，用于组装全局刚度矩阵。在这个函数中，我们首先遍历所有的单元，计算出每个单元的刚度矩阵，然后将它们组装到全局刚度矩阵中。在计算单元刚度矩阵的过程中，我们需要首先计算出单元体积，然后根据公式计算 B 矩阵和单元刚度矩阵。

接下来，我们实现了一个 `solve()` 函数，用于求解位移向量。在这个函数中，我们首先将右端向量初始化为零，并加入重力荷载。然后，我们对固定边界条件进行处理，将相关行和列的系数矩阵元素清零，并在右端向量中加入位移边界条件。最后，我们通过高斯消元法求解位移向量。

最后，我们实现了一个 `print_result()` 函数，用于输出计算结果。这个函数只是简单地打印每个节点的位移值。

当你运行这个程序时，它会输出每个节点的 X、Y、Z 三个方向的位移值。