n的阶乘递归与非递归时间复杂度的推导

n的阶乘递归算法的时间复杂度为O(N)，因为每次递归的时间复杂度为O(1)，但递归的总次数为N次，所以 N*O(1)=O(N)。而n的阶乘非递归算法的时间复杂度也为O(N)，因为需要进行N次乘法运算。

相比之下，斐波那契数列的递归算法时间复杂度为O(2^N)，因为每次递归调用时，时间是不可重复利用的，一去不复返，所以复杂度极高。

至于n的阶乘递归与非递归算法的空间复杂度，n的阶乘递归算法的空间复杂度为O(N)，因为需要N次递归调用，每次调用都需要保存一些信息。而n的阶乘非递归算法的空间复杂度为O(1)，因为只需要保存一个变量即可。

相关问题

计算阶乘递归fib的时间复杂度

计算阶乘递归fib的时间复杂度可以通过分析递归函数的执行次数来得到。

阶乘递归函数的定义为：
fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)
其中，n代表要计算的数值。

在每一次递归调用中，计算fib(n)所需的时间是由两个递归调用fib(n-1)和fib(n-2)的时间之和决定的。

假设递归调用的次数为T(n)，则根据递归函数的定义可以得到以下关系：
T(n) = T(n-1) + T(n-2)

根据递归函数的终止条件，当n=0或n=1时，递归函数直接返回结果，不再进行递归调用。因此，递归调用的次数可以表示为：
T(n) = T(n-1) + T(n-2) + 1

根据以上推导，可以得到以下递归调用的次数关系：
T(0) = 1
T(1) = 1
T(n) = T(n-1) + T(n-2) + 1, 当n > 1

通过递归展开，可以得到T(n)的表达式：
T(n) = T(n-1) + T(n-2) + 1 = T(n-2) + T(n-3) + 1 + T(n-1) + 1

通过观察可以发现，T(n)包含了所有小于等于n-1的递归调用次数。因此，可以将T(n)的时间复杂度近似为T(n-1)的时间复杂度。

根据以上推导，递归调用的次数T(n)是以斐波那契数列的形式增长的。斐波那契数列的时间复杂度是指数级的，因此计算阶乘递归fib的时间复杂度是指数级的。

综上所述，计算阶乘递归fib的时间复杂度是指数级的。

阶乘之和的时间复杂度与空间复杂度

阶乘之和的时间复杂度与空间复杂度取决于具体的实现方式。假设要计算1到N的阶乘之和。

如果使用循环来计算阶乘和，时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)，因为只需要使用常数级别的额外空间来保存中间结果和迭代变量。

如果使用递归来计算阶乘和，时间复杂度为O(N)，因为需要进行N次递归调用，每次递归调用的时间复杂度为O(1)。空间复杂度则取决于递归的深度，即调用栈的大小。在最坏情况下，递归的深度为N，所以空间复杂度为O(N)。

总结起来，阶乘之和的时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)或O(N)。