二维离散傅里叶变换例题

### 关于二维离散傅里叶变换的解析

#### 定义与背景
二维离散傅里叶变换（DFT）用于将一幅图像从空间域转换到频率域。这使得可以分析图像中的不同频率成分，从而有助于滤波和其他类型的信号处理操作。

对于给定的空间域函数 \( f(x, y) \)，其对应的频域表示可以通过下述公式计算得到：

\[ F(u, v)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(ux/M+vy/N)} \]

这里 \( M \times N \) 是输入矩阵即原始图片尺寸大小；\( u \), \( v \) 表示频率坐标[^2]。

#### 示例题目解析

考虑一个简单的例子来理解二维 DFT 的工作原理。假设有一个 4×4 大小的灰度级图像 `A` 如下所示:

| A | |
|---|---|
| 8 | 7 |
| 4 | 5 |

为了简化起见，只展示了一个更小规模的数据集而不是完整的 4 × 4 图像。实际应用中通常会使用更大的图像数据集来进行变换。

对该图像执行二维离散傅里叶变换后获得的结果是一个同样大小 (4×4) 的复数值数组 B，其中包含了该图像在各个方向上的频率信息。具体实现如下 Python 代码片段展示了如何利用 NumPy 库完成这一过程：

import numpy as np

# 创建测试图像
image = np.array([[8, 7], [4, 5]])

# 执行二维离散傅立叶变换
dft_result = np.fft.fftshift(np.fft.fft2(image))

print("Original Image:\n", image)
print("\nDiscrete Fourier Transform Result:\n", dft_result)

上述程序首先定义了一张小型的 2×2 测试图像，接着调用了 `np.fft.fft2()` 函数对其进行二维 FFT 变换，并通过 `fftshift()` 方法调整输出顺序以便更好地可视化中心化后的频谱图[^3]。

#### 结果解释
运行以上脚本将会打印出原始图像以及经过二维离散傅里叶变换之后的结果。需要注意的是，由于涉及到复数运算，因此最终输出将是包含实部和虚部的一组复杂值。这些复杂的系数代表了原图像内存在的各种周期性和非周期性的模式，在后续阶段可以根据需求进一步处理或分析。