二元函数取极值的充分条件证明

二元函数取极值的充分条件可以通过二阶偏导数的判别法来证明。假设有一个二元函数 f(x, y)，我们要证明其在点 (a, b) 处取得极值的充分条件。

1. 首先，求出函数 f 的一阶偏导数。分别对 x 和 y 求偏导数，得到 fx 和 fy。

2. 接着，求出函数 f 的二阶偏导数。分别对 x 和 y 求两次偏导数，得到 fxx、fxy 和 fyy。

3. 计算函数 f 在点 (a, b) 处的二阶偏导数值。将点 (a, b) 代入 fxx、fxy 和 fyy 中，得到 fxx(a, b)、fxy(a, b) 和 fyy(a, b) 的具体数值。

4. 判别条件：如果满足以下任一条件，则函数 f 在点 (a, b) 处取得极值：
- 当 fxx(a, b) > 0 且 fxx(a, b) * fyy(a, b) - fxy(a, b)^2 > 0 时，f 在点 (a, b) 处取得极小值。
- 当 fxx(a, b) < 0 且 fxx(a, b) * fyy(a, b) - fxy(a, b)^2 > 0 时，f 在点 (a, b) 处取得极大值。

这就是二元函数取极值的充分条件的证明过程。需要注意的是，这只是充分条件，不一定是必要条件。在具体问题中，还需要综合考虑其他因素来确定极值点。

相关问题

r语言二元函数求极值

在 R 语言中，可以使用 optim() 函数求二元函数的极值。optim() 函数需要两个参数：函数和初始值。例如，若要求函数 y = x^2 - 3x + 2 的极值，可以使用以下代码：

optim(c(0,0), function(x) x[1]^2 - 3*x[1] + 2)

其中 c(0,0) 是初始值，function(x) x[1]^2 - 3*x[1] + 2 是函数。

在多元函数中也可以使用optim, 但是需要注意的是第二个参数要设置为多元函数, 并且要求导数。

optim(c(0,0,0),fn = function(x) x[1]^2+x[2]^2+x[3]^2,gr = grad)

fn: 设置需要求最值的函数
gr: 设置函数的梯度,即导数.

optim() 函数返回一个列表，其中包含了极值和其他信息。

matlab求二元函数极值

在Matlab中，可以使用fminsearch和fminunc这两种命令来求解二元函数的极值。其中，fminsearch是一种用于求解无约束最小化问题的函数，而fminunc是一种用于求解有约束最小化问题的函数。通过提供一个初始点，这两个函数可以找到函数的极小值点。

除了这两种命令，还可以使用字符串建立函数的方法来求解二元函数的极值。可以使用jacobian函数求解向量函数f关于自变量x的jacobian矩阵。该矩阵可以提供函数在给定点的梯度信息，从而帮助找到极值点。

以下是一个求解二元函数极值的示例代码：

% 建立函数
f = @(x) (4*x(1)^2 + 2*x(2)^2 + 4*x(1)*x(2) + 2*x(2) + 1) * exp(x(1));

% 设置初始点
x0 = [0, 0];

% 使用fminsearch函数求解无约束最小化问题
[x, fmin = fminsearch(f, x0);

% 输出结果
x
fmin

请注意，上述代码中的函数f是一个匿名函数，通过将函数表达式以字符串的形式传递给fminsearch函数。

希望对你有所帮助！<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* *3* [实验五用matlab求二元函数及极值.doc](https://blog.csdn.net/weixin_27573409/article/details/115815815)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
- *2* [MATLAB求解二元(多元)函数极值](https://blog.csdn.net/cantjie/article/details/70476022)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
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