逻辑回归算法中的梯度下降算法

逻辑回归算法中使用的梯度下降算法是一种优化算法，用于学习模型参数，以使成本函数最小化。在逻辑回归中，成本函数是由样本的预测结果和实际结果之间的差异计算得出的。而梯度下降算法则是通过反复迭代计算，来调整模型参数，从而降低成本函数的值。

具体地，梯度下降算法的过程如下：

1. 随机初始化参数向量 $\theta$ ，通常使用 0 或者较小的随机数进行初始化。
2. 在每次迭代中，计算成本函数关于参数向量 $\theta$ 的梯度 $\nabla J(\theta)$。
3. 根据学习率 $\alpha$ 和梯度 $\nabla J(\theta)$，更新参数向量 $\theta$：
$$\theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)$$
4. 重复步骤 2 和 3，直到成本函数收敛或者达到指定的迭代次数。

其中，学习率 $\alpha$ 是需要调整的一个超参数，它控制着参数向量 $\theta$ 的更新步伐大小。如果学习率设置过大，可能导致成本函数在迭代过程中不收敛，而如果设置过小，则需要进行大量的迭代才能收敛，从而导致计算时间增加。

参考实现[^1]：

def gradient_descent(X, y, theta, alpha, iterations):
    """
    梯度下降算法实现函数
    :param X: 特征矩阵
    :param y: 标签向量
    :param theta: 参数向量
    :param alpha: 学习率
    :param iterations: 迭代次数
    :return: 更新后的参数向量 theta 和成本历史记录 J_history
    """
    m = len(y)  # 样本数
    J_history = np.zeros((iterations, 1))  # 成本历史记录

    for i in range(iterations):
        h = sigmoid(np.dot(X, theta))  # 计算预测结果
        delta = np.dot(X.T, h - y) / m  # 计算梯度
        theta = theta - alpha * delta  # 更新参数向量
        J_history[i] = cost_function(X, y, theta)  # 记录成本值

    return theta, J_history