pytorch PINN 求解抛物方程 代码

PyTorch 中的 Physics-Informed Neural Networks (PINN) 可以用于求解各种物理问题，包括抛物方程。抛物方程是一种基础的数学模型，比如热传导、波动等现象。在 PyTorch 中，你可以通过定义一个神经网络来近似解决方案，并结合损失函数，其中一个部分就是方程本身。

以下是一个简单的示例，展示如何使用 PyTorch 构建一个 PINN 来解决一维抛物方程 `u_t = -au_xx`：

import torch
import torch.nn as nn

# 定义网络结构
class PinnModel(nn.Module):
    def __init__(self, input_dim, output_dim, hidden_layers=3, neurons_per_layer=32):
        super(PinnModel, self).__init__()
        self.net = nn.Sequential(
            nn.Linear(input_dim, neurons_per_layer),
            nn.Tanh(),
            # 添加更多的隐藏层
            *([nn.Linear(neurons_per_layer, neurons_per_layer)] * (hidden_layers - 1)),
            nn.Linear(neurons_per_layer, output_dim)
        )

    def forward(self, x, t):
        u = self.net(torch.cat((x, t), dim=-1))
        return u

# 参数设定
input_dim = 2  # 空间维度加时间维度
output_dim = 1
model = PinnModel(input_dim, output_dim)

# 损失函数（包括边界条件和方程本身的误差）
def loss_fn(model, x_data, t_data, u_true, a=1.0):
    u_pred = model(x_data, t_data)
    eqn_loss = torch.mean((u_pred[:, None] - (-a * model(x_data, t_data).diff(dim=-1)**2))**2)
    # 假设我们有简单的边界条件 u(0, t) = 0 和 u(1, t) = 0
    boundary_loss = torch.sum((u_pred[0] + u_pred[-1])**2)
    
    return eqn_loss + boundary_loss

# 训练模型
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.01)
num_epochs = 1000
for epoch in range(num_epochs):
    optimizer.zero_grad()
    loss = loss_fn(model, ...  # 输入数据位置
    loss.backward()
    optimizer.step()