卡尔曼滤波预测 机器人视觉伺服

### 卡尔曼滤波在机器人视觉伺服中的预测实现

#### 背景介绍
卡尔曼滤波是一种高效的递归滤波方法，适用于解决动态系统的状态估计问题。其核心在于通过一系列测量观测来最小化误差方差，从而提供最优的状态估计。

#### 数学模型描述
对于离散时间下的线性系统，可以表示为：

\[ \hat{x}_{k|k} = A\hat{x}_{k-1|k-1} + Bu_k + w_k, \quad w_k ∼ N(0,Q) \]

其中 \(A\) 是状态转移矩阵；\(B\) 是输入控制变量的影响系数；\(u_k\) 表示第 k 步的控制系统输入向量；而 \(w_k\) 则代表过程噪声[^1]。

#### 测量更新阶段
当获得新的测量值 z 后，则可以通过如下公式进行校正:

\[ K_k=\frac{P_{k|k-1}} {H P_{k|k-1} H^T + R } \]
\[ \hat{x}_{k|k}= \hat{x}_{k|k-1}+K_k(z-H\hat{x}_{k|k-1}) \]

这里 \(K_k\) 称作增益因子; \(R\) 为测量噪声协方差矩阵；\(z\) 为实际观察到的数据点集合；\(H\) 映射真实世界坐标至图像平面所需变换参数[^2]。

#### 应用于视觉伺服的具体实例
假设有一个移动平台携带摄像头跟踪目标物体，在每次迭代过程中执行以下操作：
1. 使用当前姿态信息初始化位置猜测；
2. 计算期望看到的目标特征的位置；
3. 获取最新帧并提取这些特征的实际位置；
4. 将两者差异反馈给控制器调整动作指令；
5. 更新内部状态估计以便下一轮循环使用。

import numpy as np

def kalman_filter_predict(x_prev, P_prev, F, Q):
    """Predict step of Kalman Filter."""
    
    # Predicted state estimate
    x_pred = F @ x_prev
    
    # Predicted error covariance
    P_pred = F @ P_prev @ F.T + Q
    
    return (x_pred, P_pred)

# Example parameters setup for a simple case
F = np.array([[1., 0], [0, 1.]])  # State transition matrix
Q = np.eye(2)*0.01                # Process noise covariance
x_0 = np.zeros((2,))              # Initial guess on position
P_0 = np.eye(2)*1e-4             # Initial uncertainty about the position

for t in range(TIME_STEPS):       # Loop over time steps
    x_estimated[t], P_estimated[t] = kalman_filter_predict(
        x_estimated[t-1],
        P_estimated[t-1],
        F,
        Q
    )