0-1背包问题整体解上下界估计

0-1背包问题是一个经典的动态规划问题，其目标是在给定一组物品的重量和价值以及一个背包的容量限制下，选择一些物品放入背包中，使得放入背包的物品总价值最大，同时不能超过背包的容量限制。

解决0-1背包问题的常见方法是使用动态规划。具体步骤如下：

1. 定义状态：设dp[i][j]表示在前i个物品中选择，且背包容量为j时的最大总价值。

2. 初始化状态：dp[j] = 0（表示没有物品可选时，最大总价值为0），dp[i] = 0（表示背包容量为0时，最大总价值为0）。

3. 状态转移方程：对于第i个物品，有两种情况：
- 不放入背包：dp[i][j] = dp[i-1][j]
- 放入背包：dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i]（其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值）

综合考虑这两种情况，取较大值作为dp[i][j]的结果。

4. 最终结果：dp[n][C]（其中n表示物品的个数，C表示背包的容量）即为问题的解。

上下界估计是指在求解0-1背包问题时，通过对物品的价值进行上下界的估计，可以进行剪枝操作，提高算法的效率。具体步骤如下：

1. 计算每个物品的单位重量价值（即价值除以重量），并按照单位重量价值从大到小进行排序。

2. 依次遍历排序后的物品，对于每个物品，计算其剩余容量下的上界和下界。

- 上界：将剩余容量全部用于单位重量价值最高的物品，得到的总价值即为上界。
- 下界：将剩余容量全部用于单位重量价值最高的物品和单位重量价值次高的物品，得到的总价值即为下界。

3. 如果某个节点的上界小于当前已知的最优解，则可以进行剪枝操作，不再继续搜索该节点。