一维薛定谔方程python程序

一维薛定谔方程是描述粒子在一维空间中运动的量子力学方程。其数学表达式为：

iħ∂ψ(x,t)/∂t = -ħ^2/2m ∂^2ψ(x,t)/∂x^2 + V(x)ψ(x,t)

其中，ψ(x,t)是波函数，描述了粒子在不同位置x、不同时刻t的概率幅度；m是粒子的质量；ħ是约化普朗克常量；V(x)是势能函数。

为了求解一维薛定谔方程，可以使用数值方法，利用离散化的空间和时间格点，将波函数转化为一个二维数组。

首先，我们需要初始化波函数的初始状态、势能函数、时间等参数。然后，使用适当的数值差分方法，迭代地更新波函数的值。比如，可以使用有限差分法进行离散化求解。

具体而言，可以将空间划分为N个离散格点，时间划分为M个离散格点。设步长为Δx和Δt，波函数在第i个格点的值为ψ_i^j（表示在第i个空间格点和第j个时间格点的值），势能在第i个格点的值为V_i。

接下来，可以根据二阶中心差分法的数值差分形式来更新波函数的值：

iħ(ψ_i^{j+1} - ψ_i^{j-1})/(2Δt) = -ħ^2/(2mΔx^2)(ψ_{i+1}^j - 2ψ_i^j + ψ_{i-1}^j) + V_i ψ_i^j

然后，重复这个计算步骤，直到达到所需的时间步数。

最终，得到的波函数数组中的每个元素就是解的近似值，可以进行可视化或进一步的分析。

总结起来，求解一维薛定谔方程的Python程序需要进行数值离散化，使用适当的数值差分方法迭代更新波函数的值，并最终得到解的近似值。这样的程序可以用来研究粒子在势场中的量子行为，以及解决一维量子力学问题。

相关问题

薛定谔方程的有限差分法python程序

以下是一个用有限差分法求解一维薛定谔方程的简单Python程序示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置参数
L = 1  # 空间区间长度
N = 1000  # 离散点数目
h = L / N  # 离散步长
x = np.linspace(0, L, N)  # 空间网格点

# 初始化波函数和势能
psi = np.zeros(N)
V = np.zeros(N)
V[int(N/2-50):int(N/2+50)] = 1  # 设置势能区域

# 设置时间参数
T = 0.01  # 总时间
dt = 0.00001  # 时间步长
n_steps = int(T / dt)  # 时间步数

# 循环求解
for i in range(n_steps):
    # 计算波函数的二阶导数
    d2_psi = (np.roll(psi, -1) - 2 * psi + np.roll(psi, 1)) / (h**2)
    
    # 根据薛定谔方程更新波函数
    psi += -1j * dt * (d2_psi + V * psi)
    
# 绘制结果
plt.plot(x, abs(psi)**2)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('|psi(x)|^2')
plt.show()

这个程序使用了有限差分法来离散化一维薛定谔方程。首先设置了空间区间长度 `L` 和离散点数目 `N`，并计算出离散步长 `h` 和空间网格点 `x`。然后初始化波函数 `psi` 和势能 `V`，其中势能在中心区域被设置为1。接下来设置总时间 `T` 和时间步长 `dt`，并计算出时间步数 `n_steps`。最后，通过循环求解薛定谔方程，根据波函数的二阶导数和势能更新波函数。最后绘制出波函数的模方。

请注意，这只是一个简单的示例程序，可能不适用于复杂的情况。如果需要更精确或更高效的求解方法，可以考虑使用其他数值方法或库。

在Windows系统下编写一个python程序：用变形的Crank-Nicolson公式解一维运动粒子贯穿势垒的薛定谔方程。

好的，下面是在Windows系统下编写的Python程序，用变形的Crank-Nicolson公式解一维运动粒子贯穿势垒的薛定谔方程。请确保您已经安装了Python和必要的库（如NumPy和Matplotlib）。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义计算参数
h = 1.0
hbar = 1.0
m = 1.0
L = 10.0
num_x = 100
num_t = 1000
dt = 0.01
dx = L / num_x

# 定义势能函数
def V(x):
    if x < L / 2:
        return 0
    else:
        return 10

# 初始化波函数
psi = np.zeros((num_x, num_t), dtype=complex)
x = np.linspace(0, L, num_x)
psi[:, 0] = np.exp(-((x-L/4)/2)**2)

# 使用变形的Crank-Nicolson公式求解薛定谔方程
for n in range(num_t-1):
    A = np.zeros((num_x, num_x), dtype=complex)
    for i in range(1, num_x-1):
        A[i, i-1] = -0.5j * hbar * dt / dx**2
        A[i, i] = 1 + 1j * hbar * dt / h / 2 + 1j * hbar * dt / dx**2
        A[i, i+1] = -0.5j * hbar * dt / dx**2
        A[i, i] -= 1j * dt / hbar * (V(x[i]) + V(x[i]) + 2 * V(x[i]) * np.abs(psi[i, n])**2)
    A[0, 0] = 1
    A[num_x-1, num_x-1] = 1
    psi[:, n+1] = np.linalg.solve(A, psi[:, n])

# 绘制波函数随时间的演化图像
fig, ax = plt.subplots()
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel(r'$|\psi(x,t)|^2$')
for i in range(0, num_t, 100):
    ax.plot(x, np.abs(psi[:, i])**2, label='t={:.2f}'.format(i*dt))
ax.legend()
plt.show()

在这个程序中，我们首先定义了计算参数，包括普朗克常数 $\hbar$、粒子质量 $m$、空间范围 $L$、空间网格数 $num_x$、时间步数 $num_t$、时间步长 $dt$ 和空间步长 $dx$。

然后，我们定义了势能函数 $V(x)$，在这个例子中，我们使用的是一个简单的势垒，即在位置 $x=L/2$ 之后，势能为常数 $10$，而在位置 $x<L/2$ 之前，势能为 $0$。

接下来，我们初始化波函数 $\psi(x,0)$，并使用变形的Crank-Nicolson公式求解薛定谔方程。在每个时间步长中，我们首先构建一个矩阵 $A$，然后使用线性代数库中的 `linalg.solve` 函数来解线性方程组 $A\psi_{n+1}=\psi_n$，从而得到下一个时间步长的波函数 $\psi(x, t_{n+1})$。

最后，我们绘制了波函数随时间的演化图像，其中 $|\psi(x,t)|^2$ 表示波函数的概率密度。

注意，由于这个程序使用了复数，因此在绘制图像时我们必须使用 `np.abs(psi[:, i])**2` 来计算波函数的概率密度。