matlab代码编写（3+1）-variate Weibull

编写一个 MATLAB 代码来实现 (3+1)-variate Weibull 分布涉及多个步骤，包括定义分布函数、生成随机样本、估计参数等。以下是一个示例代码，展示了如何实现这些功能：

### 定义 (3+1)-variate Weibull 分布

假设我们有一个 (3+1)-variate Weibull 分布，其中每个变量 \(X\) 和 \(Y_1, Y_2, Y_3\) 都是 Weibull 分布，并且它们之间的关系如下：

1. \(X \sim \text{Weibull}(\lambda_X, k_X)\)
2. \(Y_1 \mid X = x \sim \text{Weibull}(\lambda_{Y1}, k_{Y1})\)
3. \(Y_2 \mid X = x, Y_1 = y_1 \sim \text{Weibull}(\lambda_{Y2}(x, y_1), k_{Y2})\)
4. \(Y_3 \mid X = x, Y_1 = y_1, Y_2 = y_2 \sim \text{Weibull}(\lambda_{Y3}(x, y_1, y_2), k_{Y3})\)

### MATLAB 代码

% 参数设置
lambda_X = 1.0;
k_X = 2.0;

lambda_Y1 = 1.5;
k_Y1 = 2.5;

lambda_Y2 = @(x, y1) x + y1;
k_Y2 = 3.0;

lambda_Y3 = @(x, y1, y2) x + y1 + y2;
k_Y3 = 3.5;

% 生成随机样本
n_samples = 1000;
X = wblrnd(lambda_X, k_X, [1, n_samples]);

Y1 = zeros(1, n_samples);
Y2 = zeros(1, n_samples);
Y3 = zeros(1, n_samples);

for i = 1:n_samples
    Y1(i) = wblrnd(lambda_Y1, k_Y1);
    Y2(i) = wblrnd(lambda_Y2(X(i), Y1(i)), k_Y2);
    Y3(i) = wblrnd(lambda_Y3(X(i), Y1(i), Y2(i)), k_Y3);
end

% 将数据组合成矩阵
data = [X; Y1; Y2; Y3];

% 绘制直方图
figure;
subplot(2, 2, 1);
histogram(X, 'Normalization', 'probability');
title('Histogram of X');

subplot(2, 2, 2);
histogram(Y1, 'Normalization', 'probability');
title('Histogram of Y1');

subplot(2, 2, 3);
histogram(Y2, 'Normalization', 'probability');
title('Histogram of Y2');

subplot(2, 2, 4);
histogram(Y3, 'Normalization', 'probability');
title('Histogram of Y3');

% 最大似然估计
options = optimset('Display', 'off');
params = mle(data(:), 'distribution', 'weibull', 'Start', [1, 1], 'Options', options);

disp(['Estimated parameters: lambda = ', num2str(params(1)), ', k = ', num2str(params(2))]);

### 代码说明

1. **参数设置**：定义了各个 Weibull 分布的参数。
2. **生成随机样本**：使用 `wblrnd` 函数生成随机样本。对于条件分布，我们在循环中逐个生成样本。
3. **绘制直方图**：使用 `histogram` 函数绘制每个变量的直方图。
4. **最大似然估计**：使用 `mle` 函数进行最大似然估计，得到参数的估计值。

### 注意事项

1. **条件分布**：在生成条件分布时，需要确保传递给 `wblrnd` 函数的参数是有效的。
2. **性能优化**：对于大规模数据集，可以考虑使用并行计算或更高效的算法来提高性能。
3. **模型验证**：可以通过拟合优度检验（如 AIC 或 BIC）来评估模型的适用性。

这个示例代码提供了一个基本框架，可以根据具体需求进行调整和扩展。