截断共轭梯度法Python代码示例

下面是一个简单的 Python 代码示例，演示如何使用截断共轭梯度法来解决线性方程组 Ax = b：

import numpy as np

def truncated_conjugate_gradient(A, b, x0, max_iter=100, tol=1e-6):
    """
    Truncated Conjugate Gradient Algorithm to solve Ax = b.
    :param A: the coefficient matrix
    :param b: the right-hand side vector
    :param x0: initial guess
    :param max_iter: maximum number of iterations
    :param tol: tolerance level for convergence
    :return: solution to Ax = b
    """
    x = x0
    r = b - np.dot(A, x)
    p = r
    for i in range(max_iter):
        Ap = np.dot(A, p)
        alpha = np.dot(r, r) / np.dot(p, Ap)
        x = x + alpha * p
        r_new = r - alpha * Ap
        if np.linalg.norm(r_new) < tol:
            break
        beta = np.dot(r_new, r_new) / np.dot(r, r)
        p = r_new + beta * p
        r = r_new
    return x

在这里，我们首先定义了一个名为 `truncated_conjugate_gradient` 的函数，该函数接受系数矩阵 `A`，右侧向量 `b`，初始猜测 `x0`，最大迭代次数 `max_iter` 和收敛容差 `tol`。函数返回解 `x`。

函数的实现与标准共轭梯度法非常相似，但在每次迭代中，我们只保留最后 `m` 个向量，其中 `m` 是根据收敛速度和内存使用的平衡来选择的截断参数。这就是截断共轭梯度法的基本思想。