剩余类加法循环群 Z14={0,1,2,3,⋯,13} 中元素 8 的阶

在循环群中，一个元素的阶是指将这个元素连续相乘若干次可以得到单位元素的次数。在Z14中，单位元素是0。

我们可以从8开始连续相乘，直到得到0为止：

8^1 = 8

8^2 = 64 ≡ 8 (mod 14)

8^3 = 512 ≡ 10 (mod 14)

8^4 = 4096 ≡ 4 (mod 14)

8^5 = 32768 ≡ 12 (mod 14)

8^6 = 262144 ≡ 2 (mod 14)

8^7 = 2097152 ≡ 6 (mod 14)

8^8 = 16777216 ≡ 8 (mod 14)

发现在8^8时回到了8，因此8的阶为8。

相关问题

模8的剩余类加群Z8的1，3，5，7元素做成生成元

是的，1，3，5，7是模8的剩余类加群Z8的生成元。

我们可以证明这一点，考虑下面的乘法表：

× | 0 1 2 3 4 5 6 7
-------------------
0 | 0 0 0 0 0 0 0 0
1 | 0 1 2 3 4 5 6 7
2 | 0 2 4 6 0 2 4 6
3 | 0 3 6 1 4 7 2 5
4 | 0 4 0 4 0 4 0 4
5 | 0 5 2 7 4 1 6 3
6 | 0 6 4 2 0 6 4 2
7 | 0 7 6 5 4 3 2 1

观察乘法表，我们发现1，3，5，7的积可以涵盖整个Z8加群，也就是说它们可以生成整个加群Z8。因此，它们是Z8的生成元。

模8的剩余类加群Z8的哪些元素做成生成元

模8的剩余类加群Z8中的元素可以表示为0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。为了判断哪些元素是生成元，可以观察每个元素的阶，如果一个元素的阶等于模8的剩余类加群Z8的阶，那么它就是生成元。

在模8的剩余类加群Z8中，每个元素的阶都是小于等于8的正整数。可以列出每个元素的阶：

0的阶是1，因为0^1=0。

1的阶是8，因为1^1=1, 1^2=1, ..., 1^8=1。

2的阶是4，因为2^1=2, 2^2=4, 2^3=0, 2^4=2。

3的阶是8，因为3^1=3, 3^2=1, 3^3=3, 3^4=1, ..., 3^8=1。

4的阶是2，因为4^1=4, 4^2=0。

5的阶是8，因为5^1=5, 5^2=1, 5^3=5, 5^4=1, ..., 5^8=1。

6的阶是4，因为6^1=6, 6^2=4, 6^3=2, 6^4=0。

7的阶是8，因为7^1=7, 7^2=1, 7^3=7, 7^4=1, ..., 7^8=1。

因此，模8的剩余类加群Z8的生成元是1和3，而其他元素不是生成元。