设共有 N = 1, 2, 3, ..., I 个产品，这 I 个产品间都可以相互替代。每种产品的不确定需求为 zi ，产品的生产成本为 ci，产品的超储成本为 hi，缺货成本为 bi, 设当产品i的数量不能满足其需求时，可以用其他产品代替。目标是找到每个产品的最优库存xi，使得满足不确定需求，且成本最小。写出其分布式鲁棒优化模型

假设有 K 个节点，每个节点 k 维护一组决策变量 $x_k=(x_{k1},x_{k2},...,x_{kI})$，表示在该节点上每个产品的库存量。

定义节点 k 上的目标函数为：
$$\min_{x_k} \sum_{i=1}^I(c_i+\frac{1}{K}h_i)x_{ki}+\frac{1}{K}\sum_{j=1}^K\sum_{i=1}^Ib_{ij}f(z_{ij}-x_{k'i})$$
其中，$c_i$ 表示产品 i 的生产成本，$h_i$ 表示该产品的超储成本，$b_{ij}$ 表示当节点 j 上的产品 i 的数量不能满足其需求时，使用其他产品代替所产生的缺货成本。$f(z_{ij}-x_{k'i})$ 表示节点 j 上的需求分布 $z_{ij}$ 与节点 k' 上的库存分布 $x_{k'i}$ 之间的距离函数，可以选用 Wasserstein 距离、KL 散度等。

定义集合 $X=\{x|x\in R^{K\times I},\sum_{k=1}^Kx_{ki}\geq z_{ij},\forall i,j\}$，表示所有节点上的库存量满足需求。

则分布式鲁棒优化模型为：
$$\min_{x\in X} \sum_{k=1}^K\sum_{i=1}^I(c_i+\frac{1}{K}h_i)x_{ki}+\frac{1}{K}\sum_{j=1}^K\sum_{i=1}^Ib_{ij}f(z_{ij}-x_{k'i})$$
$$s.t.\ x\in X$$

其中，$x$ 表示所有节点的库存量向量的拼接。

该模型的优化目标是最小化成本，同时满足所有节点的需求。通过引入距离函数，模型可以提高鲁棒性，减少对需求分布的假设，更加适用于实际应用场景。