三维空间中如何判断两直线是否平行或垂直，代码

在三维空间中判断两条直线是否平行或垂直通常涉及到向量的概念。如果两条直线分别由向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\)，以及 \(\mathbf{c}\) 和 \(\mathbf{d}\) 表示，可以采用以下几种方法：

1. **平行检查**:
- 直线 \((\mathbf{a}, \mathbf{b})\) 和 \((\mathbf{c}, \mathbf{d})\) 平行当且仅当它们的方向向量 \(\mathbf{b} - \mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{d} - \mathbf{c}\) 是共线的，即存在一个标量 \(k\) 使得 \(\mathbf{b} - \mathbf{a} = k (\mathbf{d} - \mathbf{c})\)。可以计算这两个向量的叉积 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 和 \(\mathbf{c} \times \mathbf{d}\)，如果它们相等则直线平行。

2. **垂直检查**:
- 如果两条直线的法向量 (方向向量的相反数) 正交，则直线垂直。因此，只需检查 \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{b} - \mathbf{a}) \cdot (\mathbf{d} - \mathbf{c})\) 是否等于0，其中 "\(\cdot\)" 表示点积。

下面是一个简单的Python代码示例，假设我们有一个二维笛卡尔坐标表示的四维元组列表表示直线：

def are_lines_parallel(line1, line2):
    direction_vec1 = line1[1] - line1[0]
    direction_vec2 = line2[1] - line2[0]

    return np.cross(direction_vec1, direction_vec2).all() == 0

def are_lines_perpendicular(line1, line2):
    normal_vec1 = direction_vec1.copy()
    normal_vec2 = direction_vec2.copy()

    # 取反得到法向量
    normal_vec1 *= -1
    normal_vec2 *= -1

    return np.dot(normal_vec1, normal_vec2) == 0

# 示例直线
line1 = ((0, 0), (5, 5))
line2 = ((1, 1), (4, 4))

if are_lines_parallel(line1, line2):
    print("Lines are parallel.")
elif are_lines_perpendicular(line1, line2):
    print("Lines are perpendicular.")
else:
    print("Lines neither parallel nor perpendicular.")