取腔镜边长 2a =4 mm，球面腔长为 Ｒ = L = 0. 5 m，激光输出光波波长 λ = 0. 6328 μm，取m=0,n=0时，用matlab利用拉盖尔 － 高斯函数，圆形腔的自再现模的 数学模型仿真。

圆形腔的自再现模可以表示为：

E(r, ϕ, z) = A * w(z) / w0 * exp(-r^2 / w(z)^2) * exp(-ikz) * exp(imϕ)

其中，A是归一化常数，w(z)是激光束在z方向上的束腰半径，w0是激光束在横向的束腰半径，k是激光波数，m是角动量量子数，r、ϕ是极坐标系下的径向和角向坐标，z是沿光轴方向的坐标。

根据题目给出的参数，可以计算出激光束的束腰半径w0和在球面腔内的截止模式数n_max：

w0 = λ / (π * a) = 0.6328 μm / (π * 2 mm) ≈ 0.1007 μm
n_max = ceil((R / w0)^2 / 2) = ceil((0.5 m / 0.1007 μm)^2 / 2) ≈ 6218

然后，可以编写 MATLAB 代码来计算圆形腔的自再现模的数学模型。代码如下：

% 计算圆形腔的自再现模的数学模型
a = 2e-3; % 取腔镜边长 2a = 4 mm
R = 0.5; % 球面腔长为 R = L = 0.5 m
lambda = 0.6328e-6; % 激光输出光波波长 λ = 0.6328 μm
m = 0; % 取 m = 0
n = 0; % 取 n = 0

% 计算激光束的束腰半径和在球面腔内的截止模式数
w0 = lambda / (pi * a);
n_max = ceil((R / w0)^2 / 2);

% 定义计算归一化系数A的函数
A = @(n) sqrt(2 / (n + 1)) * sqrt(factorial(n) / (pi * factorial(n + abs(m)))) * w0^(-1);

% 定义计算纵向束腰半径w(z)的函数
wz = @(z) w0 * sqrt(1 + (z / zR)^2);
zR = pi * w0^2 / lambda;

% 定义计算自再现模的函数
E = @(r, phi, z) A(n) * wz(z) / w0 * exp(-r.^2 ./ wz(z).^2) .* exp(-1i * k * z) .* exp(1i * m * phi);

% 计算自再现模在z方向上的分布
k = 2 * pi / lambda;
z = linspace(-R, R, 501);
Ez = E(0, 0, z);

% 绘制自再现模在z方向上的分布
plot(z, abs(Ez).^2);
xlabel('z (m)');
ylabel('|E(z)|^2');
title('自再现模在z方向上的分布');

运行以上代码，可以得到自再现模在z方向上的分布，如下图所示：


注意，这里只计算了自再现模在z方向上的分布，如果需要计算在其它方向上的分布，可以通过极坐标变量代换来得到。