已知图中所示三角形ABC各顶点的坐标A(2,4)、B(4,4)、C(4,1),相对A点逆时针旋转60,各顶点分别到达A'、B'、C'。试计算A'、B'、C'的坐标值。(要求用齐次坐标进行变换,列出变换矩阵。)

### 回答1：
好的，我会尽力回答您的问题。针对您的问题，我会采用计算机图形学的知识来帮您解答。

首先需要明确一下，题目中所描述的逆时针旋转60度是绕着点A进行的。因此我们需要构造出绕点A逆时针旋转60度的旋转矩阵，再将三个点的坐标变换一下即可得到A'、B'、C'的坐标值。

旋转矩阵的构造方法是比较标准的，在这里简要描述一下。设绕原点逆时针旋转角度为θ，则有：

cosθ -sinθ
sinθ cosθ

对于绕点A逆时针旋转60度而言，旋转矩阵的构造方法如下：

1. 将所有点都沿着点A的反向平移，使得点A的坐标变为 (0, 0)。

2. 计算旋转角度，即 60度对应的弧度值，记为θ。

3. 构造旋转矩阵。

4. 将所有点都绕着点A进行旋转变换。

根据以上步骤，我们可以得到如下的变换矩阵：

cos(π/3) -sin(π/3) 2
sin(π/3) cos(π/3) 4
0 0 1

其中，π/3表示60度对应的弧度值。这个矩阵代表的是一个绕点A逆时针旋转60度的变换。

接下来，我们将点A、B、C都转换为齐次坐标表示，并将它们都左乘上以上的矩阵，即可得到A'、B'、C'的坐标。

点A在齐次坐标下的表示为 (2, 4, 1)，左乘变换矩阵得到A'的坐标为：

2cos(π/3) - sin(π/3) + 2
2sin(π/3) + cos(π/3) + 4
1

同理，点B和点C在齐次坐标下的表示为 (4, 4, 1) 和 (4, 1, 1)。将它们左乘变换矩阵，分别得到B'和C'的坐标：

B' = (4cos(π/3) - sin(π/3) + 2, 4sin(π/3) + cos(π/3) + 4, 1)
C' = (4cos(π/3) - sin(π/3) + 4, sin(π/3) + 1, 1)

至此，我们已经得到了题目中所求的结果，即A'、B'、C'的坐标值。如果您需要更详细的解答或有其他问题，请继续追问。

### 回答2：
我们可以使用齐次坐标来进行旋转变换。首先将三角形ABC的坐标用齐次坐标表示：

A = [2, 4, 1]
B = [4, 4, 1]
C = [4, 1, 1]

接下来，我们可以构建相对于A点逆时针旋转60度的变换矩阵。旋转矩阵的一般形式为：

R = [[cosθ, -sinθ, 0],
[sinθ, cosθ, 0],
[0, 0, 1]]

根据逆时针旋转60度的角度值，我们可以使用π/3来代替θ。经过计算，得到旋转矩阵为：

R = [[1/2, -√3/2, 0],
[√3/2, 1/2, 0],
[0, 0, 1]]

最后，我们可以将旋转矩阵与三角形ABC的齐次坐标相乘，来得到A'、B'、C'的坐标值：

A' = [1/2, -√3/2, 0] × [2, 4, 1] = [1, 3, 1]
B' = [1/2, -√3/2, 0] × [4, 4, 1] = [2+√3, 2-√3, 1]
C' = [1/2, -√3/2, 0] × [4, 1, 1] = [3-√3, 1+√3, 1]

因此，A’的坐标为(1, 3)，B’的坐标为(2+√3, 2-√3)，C’的坐标为(3-√3, 1+√3)。