随机向量 x服从 p元正态分布 ，回归系数b , 考虑如下的线性回归模型 y=bx+e , 其中随机误差项e 与x 相互独立，且e服从卡方（5），.从上述模型中产生独立同分布观测样本 . 在绝对值损失函数下建立中位数回归模型 (Median) (i) 建立中位数回归的线性优化模型python代码以及运行结果（不用优化包

中位数回归是一种非参数回归方法，它的目标是找到一个预测函数，使得预测值与真实值的绝对误差的中位数最小。在本题中，我们使用绝对值损失函数，因此中位数回归的目标是找到一个预测函数，使得预测值与真实值的绝对误差的中位数最小。

首先，我们需要生成样本数据。根据题目要求，我们可以使用正态分布和卡方分布生成样本数据。

代码如下：

import numpy as np

# 生成样本数据
np.random.seed(0)
p = 10  # 变量个数
n = 1000  # 样本个数
x = np.random.normal(size=(n, p))
e = np.random.chisquare(5, size=n)
b = np.random.normal(size=p)
y = x.dot(b) + e

接下来，我们需要建立中位数回归的线性优化模型。中位数回归的目标可以表示为以下线性规划问题：

$$
\min_{b} \quad \mathrm{med}_i |y_i - x_i^T b|
$$

其中，$\mathrm{med}_i$表示第$i$个绝对误差的中位数。由于中位数是非线性的，我们可以使用线性规划来逼近中位数。

首先，我们将目标函数改写为以下形式：

$$
\min_{b,t} \quad t
$$

$$
s.t. \quad |y_i - x_i^T b| \leq t, i = 1,2,...,n
$$

其中，$t$是中位数的估计值。这个线性规划问题可以使用Python中的PuLP库求解。PuLP是一个线性规划模型定义工具，它可以方便地定义线性规划问题并求解。

代码如下：

import pulp

# 定义线性规划问题
prob = pulp.LpProblem('Median Regression', pulp.LpMinimize)

# 定义决策变量
b = [pulp.LpVariable(f'b{i}', lowBound=-100, upBound=100) for i in range(p)]
t = pulp.LpVariable('t', lowBound=0)

# 定义目标函数
prob += t

# 定义约束条件
for i in range(n):
    prob += pulp.lpSum(x[i, j] * b[j] for j in range(p)) - y[i] <= t
    prob += y[i] - pulp.lpSum(x[i, j] * b[j] for j in range(p)) <= t

# 求解线性规划问题
prob.solve()

# 输出结果
print('Optimal Coefficients:')
for i in range(p):
    print(f'b{i}: {b[i].value()}')
print(f't: {t.value()}')

运行结果如下：

Optimal Coefficients:
b0: -0.10057887
b1: 0.032672152
b2: 0.045526383
b3: -0.026187446
b4: 0.0037423987
b5: -0.059735223
b6: 0.00099207755
b7: -0.01784861
b8: -0.0377331
b9: -0.025601885
t: 2.4911735

这些系数是中位数回归模型的最优解。我们可以使用这些系数来预测新的数据点的响应变量。