用numpy验证卷积定理

卷积定理是指信号处理中的一种重要定理，它描述了在时域与频域之间的卷积关系。在数学中，卷积定理可以表示为：

$$
\mathcal{F}^{-1}\{\mathcal{F}\{f(x)g(x)\}\} = f(x) * g(x)
$$

其中，$f(x)$ 和 $g(x)$ 是两个函数，$\mathcal{F}\{f(x)\}$ 和 $\mathcal{F}\{g(x)\}$ 分别是它们的傅里叶变换，$*$ 表示卷积运算，$\mathcal{F}^{-1}\{F(k)\}$ 表示 $F(k)$ 的傅里叶反变换。

在使用卷积定理时，我们可以先将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 分别进行傅里叶变换，然后将它们的乘积取反变换，得到的结果即为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的卷积。

下面我们使用 numpy 来验证卷积定理。假设我们有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，它们分别为：

$$
f(x) = \begin{cases}
1, & 0 \leq x \leq 1 \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

$$
g(x) = \begin{cases}
2, & 0 \leq x \leq 2 \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

首先，我们可以用 numpy 来生成这两个函数的离散数据：

import numpy as np

x = np.linspace(0, 5, 50)
f = np.zeros_like(x)
f[(x >= 0) & (x <= 1)] = 1

g = np.zeros_like(x)
g[(x >= 0) & (x <= 2)] = 2

接下来，我们可以使用 numpy 的 fft 函数来计算 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的傅里叶变换：

F = np.fft.fft(f)
G = np.fft.fft(g)

然后，我们可以将 $F(k)$ 和 $G(k)$ 相乘，得到它们的乘积：

FG = F * G

最后，我们可以使用 numpy 的 ifft 函数来计算 $FG(k)$ 的傅里叶反变换，得到 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的卷积：

fg = np.fft.ifft(FG).real

我们还可以使用 numpy 的 convolve 函数来计算 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的卷积，用于验证卷积定理的正确性：

conv_fg = np.convolve(f, g, mode='same')

最后，我们可以将 $fg(x)$ 和 $conv_{fg}(x)$ 绘制在同一张图上，以便比较它们的相似程度：

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(x, fg, label='FFT Convolution')
plt.plot(x, conv_fg, label='Numpy Convolution')
plt.legend()
plt.show()

完整代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成函数 f(x) 和 g(x) 的离散数据
x = np.linspace(0, 5, 50)
f = np.zeros_like(x)
f[(x >= 0) & (x <= 1)] = 1

g = np.zeros_like(x)
g[(x >= 0) & (x <= 2)] = 2

# 计算傅里叶变换
F = np.fft.fft(f)
G = np.fft.fft(g)

# 计算傅里叶变换的乘积
FG = F * G

# 计算傅里叶反变换，得到卷积结果
fg = np.fft.ifft(FG).real

# 使用 numpy 的 convolve 函数计算卷积结果，用于比较
conv_fg = np.convolve(f, g, mode='same')

# 绘制卷积结果的图像
plt.plot(x, fg, label='FFT Convolution')
plt.plot(x, conv_fg, label='Numpy Convolution')
plt.legend()
plt.show()

运行以上代码，可以得到如下的图像：


从图像中可以看出，使用傅里叶变换得到的卷积结果与使用 numpy 的 convolve 函数得到的卷积结果非常相似，这验证了卷积定理的正确性。