循环卷积与线性卷积的关系

循环卷积（Circular Convolution）和线性卷积（Linear Convolution）都是信号处理中常见的卷积运算，它们在数学上有着密切的关系，但在实际应用中有区别。

线性卷积通常用于两个序列的一次性前向滑动求和，假设输入序列 \( x \) 和滤波器序列 \( h \)，其结果\( y \)的长度等于这两个序列的长度之和减一。线性卷积可以用标准卷积公式表示为：

\[ y[n] = (x * h)[n] = \sum_{m=0}^{M-1} x[n-m]h[m] \]

然而，当我们将一个序列无限循环地应用到另一个序列上时，就会得到循环卷积（也称为圆周卷积）。在循环卷积中，如果滤波器序列 \( h \) 长度超过输入序列 \( x \)，它会从序列尾部开始连接到头部，形成一个新的无限序列。循环卷积的结果\( Y \)同样是在所有可能的移位位置上计算两个序列的点乘积：

\[ Y[k] = (x \circledast h)[k] = \sum_{m=0}^{\infty} x[(k-m)\mod N]h[m] \]

这里 \( N \) 是输入序列的长度，\( \mod N \) 表示取模操作。

两者的转换可以通过将线性卷积的输出序列进行循环左移和拼接来实现。当输入和滤波器长度相等或者滤波器长度小于输入长度时，两者结果相同；否则，线性卷积的结果需要经过适当的调整才能对应循环卷积。