sinx三次方的原函数
时间: 2023-09-02 19:09:23 浏览: 208
$\int \sin^3x \, dx = \int \sin^2x \cdot \sin x \, dx = \int (1-\cos^2x) \cdot \sin x \, dx$
令 $u = \cos x, \, du = -\sin x \, dx$,则
$\begin{aligned} \int (1-\cos^2x) \cdot \sin x \, dx &= \int (1-u^2) \cdot (-du) \\ &= u - \frac{u^3}{3} + C \\ &= \cos x - \frac{\cos^3x}{3} + C \end{aligned}$
因此,$\int \sin^3x \, dx = \cos x - \frac{\cos^3x}{3} + C$。
相关问题
sinx^5-sinx^7的原函数
首先我们可以利用恒等式将原函数转化为 sin x^5 (1 - sin^2 x)^1/2 dx - sin x^7 (1 - sin^2 x)^1/2 dx。然后我们可以进行变量代换,令u = sin x,那么原函数可以表示为:
∫u^5(1 - u^2)^1/2 du - ∫u^7(1 - u^2)^1/2 du
对于第一个积分,我们可以进行部分积分,令v = (1 - u^2)^1/2,du = 5u^4 du,那么有:
∫u^5(1 - u^2)^1/2 du = ∫u^4 (1 - u^2) du = ∫u^4 du - ∫u^6 du = u^5/5 - u^7/7 + C1
对于第二个积分,我们可以进行部分积分,令v = (1 - u^2)^1/2,du = 7u^6 du,那么有:
∫u^7(1 - u^2)^1/2 du = ∫u^6 (1 - u^2) du = ∫u^6 du - ∫u^8 du = u^7/7 - u^9/9 + C2
因此,原函数为:
sin x^5 (1 - sin^2 x)^1/2 dx - sin x^7 (1 - sin^2 x)^1/2 dx = u^5/5 - u^7/7 - u^7/7 + u^9/9 + C = (sin^5 x)/5 - (2sin^7 x)/7 + (sin^9 x)/9 + C
计算sinx的三次方的不定积分
要计算 $\int \sin^3 x dx$,我们可以使用三角恒等式将其转化为更易积分的形式。
首先,我们将 $\sin^3 x$ 展开为 $\sin^2 x \cdot \sin x$,然后使用 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$,得到:
$$\int \sin^3 x dx = \int (\sin^2 x)(\sin x) dx = \int (1 - \cos^2 x)(\sin x) dx$$
接下来,我们进行变量代换,令 $u = \cos x$,则 $du = -\sin x dx$。代入上式,得到:
$$\int \sin^3 x dx = -\int (1 - u^2) du = -\left(u - \frac{u^3}{3}\right) + C$$
最后,将 $u = \cos x$ 代回原式,得到:
$$\int \sin^3 x dx = -\left(\cos x - \frac{\cos^3 x}{3}\right) + C$$
因此,$\int \sin^3 x dx = -\left(\cos x - \frac{\cos^3 x}{3}\right) + C$。