**①实对称矩阵**

实对称矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是一个特殊的方阵，其特征是矩阵与其转置矩阵相等。在数学表达式中，如果一个矩阵 \( A \) 满足 \( A = A^T \)，其中 \( A^T \) 表示 \( A \) 的转置，那么 \( A \) 就被称为实对称矩阵。

实对称矩阵具有以下性质：
1. 它的特征值都是实数：由于实对称矩阵是对称的，其特征向量总是可以找到正交基，这使得我们可以直接计算出特征值，而不会得到复数。
2. 可对角化：实对称矩阵可以通过正交变换（例如旋转）化为对角矩阵，即存在一个正交矩阵 \( Q \) 和一个对角矩阵 \( D \)（对角线元素是特征值），使得 \( A = QDQ^T \)。
3. 正定或负定：如果所有特征值都是正的，则称 \( A \) 为正定矩阵；如果所有特征值都是负的，则称 \( A \) 为负定矩阵；若既有正特征值又有负特征值，则 \( A \) 不是正定或负定的，但仍然可以表示为实数的对角矩阵。

实对称矩阵在很多领域都有应用，如统计学中的协方差矩阵、物理学中的哈密顿算符等，因为它们的性质使得许多问题简化处理。