某系统单位负反馈系统的开环传递函数为𝐺𝐺(𝑠𝑠) = K∗ s(𝑠𝑠+2)(𝑠𝑠+3) （1）试概略绘制系统根轨迹。 （2）求临界根轨迹增益及该增益对应的三个闭环极点。 （3）求出系统不稳定时根轨迹增益𝐾𝐾∗的取值范围。

(1) 根据根轨迹的定义，系统的根轨迹是由开环传递函数的极点随着 K 的变化而移动所形成的轨迹。首先，我们可以求出开环传递函数的极点：

s(𝑠+2)(𝑠+3)=0

得到极点为 s=0、s=-2 和 s=-3。

然后，根据根轨迹的规律，当 K 从 0 到正无穷大变化时，根轨迹从左半平面出发，向右下方移动，最终到达左半平面的无穷远点。同时，当 K=0 时，根轨迹位于极点 s=0、s=-2 和 s=-3 之间的实轴上，当 K→∞ 时，根轨迹趋近于垂直于实轴的直线。

综上所述，可以概略绘制出系统的根轨迹如下图所示：


(2) 当 K 为临界根轨迹增益时，根轨迹经过 s=-1 的点，此时系统的三个闭环极点都位于虚轴上。根据特征方程可以求得：

s^3 + 5s^2 + 6s + K = 0

当根轨迹经过 s=-1 时，有：

K = |-1(1+2)(1+3)| = 6

将 K=6 代入特征方程，解得三个闭环极点为：

s=-3.7321i、s=-1、s=-0.2679i

(3) 当系统不稳定时，特征方程的实部存在正数，即：

K<0 或 K>(2+3+1)×2=12

因此，系统不稳定时，根轨迹增益 K∗的取值范围为 K<0 或 K>12。