给定联通无向图G，和某条边E1，求E1在多少个最小生成树中出现过

好的，这是一个比较经典的图论问题。对于给定的无向图G和一条边E1，我们可以通过以下步骤来求出E1在多少个最小生成树中出现过：

1. 先求出图G的最小生成树MST。
2. 对于MST中的每条边，如果这条边不等于E1，则将其加入一个列表中（记为L）。
3. 枚举列表L中的每条边，将其从MST中删除，然后求出新的最小生成树MST'。
4. 如果MST'中包含E1，则说明E1出现在MST'中，计数器加1。
5. 重复步骤3和4，直到枚举完列表L中的所有边。

通过这个过程，我们可以求出E1在多少个最小生成树中出现过。需要注意的是，如果图G中存在重边或自环，则最小生成树可能不唯一，需要对所有的最小生成树进行统计。

相关问题

问题描述 给定无向图带权图的数据类型如下 #define MAXVEX 100 typedef char VertexType; typedef int EdgeType; typedef struct { VertexType vexs[MAXVEX]; //顶点表 EdgeType edge[MAXVEX][MAXVEX]; //邻接矩阵,即边表 int vertexNum,edgeNum; }MGraph,*Graph; 请设计int Kruskal(Graph g)函数。 该函数用Kruskal算法求g的最小生成树的权,并返回最小生成树的权。 如果最小生成树不存在，则返回-1。 请注意，本题有预置代码，只需提交所要求的函数定义代码即可。

以下是题目所需的函数定义代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#define MAXVEX 100

typedef char VertexType;
typedef int EdgeType;

typedef struct {
    VertexType vexs[MAXVEX]; //顶点表
    EdgeType edge[MAXVEX][MAXVEX]; //邻接矩阵,即边表
    int vertexNum, edgeNum;
}MGraph, *Graph;

//边的结构体
typedef struct {
    int begin, end; //边的起点和终点
    int weight; //边的权重
}Edge;

//并查集的结构体
typedef struct {
    int father[MAXVEX]; //父节点数组
    int rank[MAXVEX]; //秩数组
}UnionFindSet;

//交换两个边的信息
void swapEdge(Edge *e1, Edge *e2) {
    Edge tmp = *e1;
    *e1 = *e2;
    *e2 = tmp;
}

//对边进行快速排序
void quickSortEdge(Edge *edges, int left, int right) {
    if (left < right) {
        int i = left, j = right;
        Edge pivot = edges[left];
        while (i < j) {
            while (i < j && edges[j].weight >= pivot.weight) {
                j--;
            }
            edges[i] = edges[j];
            while (i < j && edges[i].weight <= pivot.weight) {
                i++;
            }
            edges[j] = edges[i];
        }
        edges[i] = pivot;
        quickSortEdge(edges, left, i - 1);
        quickSortEdge(edges, i + 1, right);
    }
}

//初始化并查集
void initUnionFindSet(UnionFindSet *ufs, int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        ufs->father[i] = i;
        ufs->rank[i] = 0;
    }
}

//查找节点所在的集合
int find(UnionFindSet *ufs, int x) {
    if (ufs->father[x] != x) {
        ufs->father[x] = find(ufs, ufs->father[x]);
    }
    return ufs->father[x];
}

//合并两个集合
void unionSet(UnionFindSet *ufs, int x, int y) {
    int rootX = find(ufs, x);
    int rootY = find(ufs, y);
    if (rootX != rootY) {
        if (ufs->rank[rootX] > ufs->rank[rootY]) {
            ufs->father[rootY] = rootX;
        } else if (ufs->rank[rootX] < ufs->rank[rootY]) {
            ufs->father[rootX] = rootY;
        } else {
            ufs->father[rootY] = rootX;
            ufs->rank[rootX]++;
        }
    }
}

//Kruskal算法求最小生成树
int Kruskal(Graph g) {
    Edge edges[MAXVEX * MAXVEX];
    int edgeNum = 0;
    for (int i = 0; i < g->vertexNum; i++) {
        for (int j = i + 1; j < g->vertexNum; j++) {
            if (g->edge[i][j] != 0) {
                edges[edgeNum].begin = i;
                edges[edgeNum].end = j;
                edges[edgeNum].weight = g->edge[i][j];
                edgeNum++;
            }
        }
    }
    quickSortEdge(edges, 0, edgeNum - 1);
    UnionFindSet ufs;
    initUnionFindSet(&ufs, g->vertexNum);
    int minWeight = 0;
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
        Edge e = edges[i];
        if (find(&ufs, e.begin) != find(&ufs, e.end)) {
            unionSet(&ufs, e.begin, e.end);
            minWeight += e.weight;
            count++;
            if (count == g->vertexNum - 1) {
                break;
            }
        }
    }
    if (count != g->vertexNum - 1) {
        return -1;
    }
    return minWeight;
}

其中，`swapEdge()`函数用于交换两个边的信息，`quickSortEdge()`函数用于对边进行快速排序，`initUnionFindSet()`函数用于初始化并查集，`find()`函数用于查找节点所在的集合，`unionSet()`函数用于合并两个集合，`Kruskal()`函数用于实现Kruskal算法求最小生成树的权。

用C语言写一个给定一个带权图，用破圈法求其最小生成树的程序

好的，以下是用C语言实现破圈法求带权图最小生成树的程序：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX_VERTEX_NUM 20
#define INF 32767

typedef struct {
    int weight; // 边的权值
    int tail; // 边的尾部
    int head; // 边的头部
} Edge;

typedef struct {
    int vertex_num; // 图的顶点数
    int edge_num; // 图的边数
    int edges[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; // 图的邻接矩阵
} Graph;

// 根据输入的顶点数和边数，构建图的邻接矩阵
void buildGraph(Graph *g) {
    int i, j;
    printf("请输入图的顶点数和边数：");
    scanf("%d%d", &g->vertex_num, &g->edge_num);
    for (i = 0; i < g->vertex_num; i++) {
        for (j = 0; j < g->vertex_num; j++) {
            g->edges[i][j] = INF; // 初始化邻接矩阵为无穷大
        }
    }
    for (i = 0; i < g->edge_num; i++) {
        int tail, head, weight;
        printf("请输入第%d条边的起点、终点和权值：", i+1);
        scanf("%d%d%d", &tail, &head, &weight);
        g->edges[tail][head] = weight;
        g->edges[head][tail] = weight; // 无向图要对称存储
    }
}

// 交换两个边
void swap(Edge *e1, Edge *e2) {
    Edge temp;
    temp.weight = e1->weight;
    temp.tail = e1->tail;
    temp.head = e1->head;
    e1->weight = e2->weight;
    e1->tail = e2->tail;
    e1->head = e2->head;
    e2->weight = temp.weight;
    e2->tail = temp.tail;
    e2->head = temp.head;
}

// 对边进行冒泡排序
void bubbleSort(Edge *edges, int edge_num) {
    int i, j;
    for (i = 0; i < edge_num-1; i++) {
        for (j = 0; j < edge_num-i-1; j++) {
            if (edges[j].weight > edges[j+1].weight) {
                swap(&edges[j], &edges[j+1]);
            }
        }
    }
}

// 破圈法求带权图最小生成树
void kruskal(Graph *g) {
    int i, j, k = 0;
    Edge edges[MAX_VERTEX_NUM*MAX_VERTEX_NUM]; // 存储图中所有边
    Edge mst[MAX_VERTEX_NUM-1]; // 存储最小生成树的边
    int parent[MAX_VERTEX_NUM]; // 存储每个顶点的父节点
    for (i = 0; i < g->vertex_num; i++) {
        parent[i] = -1; // 初始化父节点为-1
        for (j = 0; j < g->vertex_num; j++) {
            if (g->edges[i][j] != INF) {
                edges[k].tail = i;
                edges[k].head = j;
                edges[k].weight = g->edges[i][j];
                k++;
            }
        }
    }
    bubbleSort(edges, g->edge_num); // 对边进行排序
    k = 0;
    for (i = 0; i < g->edge_num; i++) {
        int tail = edges[i].tail;
        int head = edges[i].head;
        int tail_parent = tail;
        int head_parent = head;
        while (parent[tail_parent] != -1) {
            tail_parent = parent[tail_parent];
        }
        while (parent[head_parent] != -1) {
            head_parent = parent[head_parent];
        }
        if (tail_parent != head_parent) { // 如果不在同一个连通分量中，就加入最小生成树
            parent[tail_parent] = head_parent;
            mst[k] = edges[i];
            k++;
            if (k == g->vertex_num-1) { // 边的数量达到顶点数-1，就结束
                break;
            }
        }
    }
    printf("最小生成树的边为：\n");
    for (i = 0; i < k; i++) {
        printf("(%d, %d) weight=%d\n", mst[i].tail, mst[i].head, mst[i].weight);
    }
}

int main() {
    Graph g;
    buildGraph(&g);
    kruskal(&g);
    return 0;
}

该程序中，首先根据输入的顶点数和边数构建图的邻接矩阵，然后使用破圈法求出最小生成树。在破圈法中，先将所有边存储到一个数组中，并对边进行排序，然后从小到大遍历每个边，如果该边的两个端点不在同一个连通分量中，就加入最小生成树中，并将它们的连通分量合并。最终输出最小生成树的边。