C++矩阵类使用一维数组存储数据，并使用QR分解求解特征值，特征向量，并用注释写出怎么一步步实现

以下是使用一维数组存储数据并使用QR分解求解特征值和特征向量的C++矩阵类的实现，同时附有注释说明：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

const double EPS = 1e-10; // EPS为极小值，用于判断浮点数是否为0

class Matrix {
public:
    Matrix(int r, int c) : rows(r), cols(c) {
        data = new double[rows * cols]; // 动态分配内存
        for (int i = 0; i < rows; i++)
            for (int j = 0; j < cols; j++)
                data[i * cols + j] = 0; // 初始化为0
    }

    ~Matrix() { delete[] data; } // 释放内存

    double& operator()(int i, int j) { return data[i * cols + j]; } // 矩阵元素的访问

    void print() { // 输出矩阵
        for (int i = 0; i < rows; i++) {
            for (int j = 0; j < cols; j++)
                cout << (*this)(i, j) << " ";
            cout << endl;
        }
    }

    void QR(Matrix& Q, Matrix& R) { // QR分解
        double* u = new double[rows]; // 临时向量u
        for (int i = 0; i < cols; i++) {
            for (int j = 0; j < rows; j++)
                u[j] = (*this)(j, i); // 取出第i列，作为u向量
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                double dot = 0;
                for (int k = 0; k < rows; k++)
                    dot += u[k] * R(k, j); // 计算u向量和R矩阵的第j列的点积
                for (int k = 0; k < rows; k++)
                    u[k] -= dot * R(k, j); // u向量减去投影
            }
            double norm = 0;
            for (int j = 0; j < rows; j++)
                norm += u[j] * u[j]; // 计算u向量的模长
            norm = sqrt(norm);
            if (norm < EPS) // 如果模长为0，跳过该列
                continue;
            for (int j = 0; j < rows; j++)
                u[j] /= norm; // 归一化
            for (int j = 0; j < rows; j++)
                Q(j, i) = u[j]; // 将u向量作为Q矩阵的第i列
            for (int j = i; j < cols; j++) {
                double dot = 0;
                for (int k = 0; k < rows; k++)
                    dot += u[k] * (*this)(k, j); // 计算u向量和A矩阵的第j列的点积
                R(i, j) = dot; // 记录投影
            }
        }
        delete[] u; // 释放内存
    }

    void eigen(Matrix& eigenvectors, Matrix& eigenvalues) { // 求特征值和特征向量
        Matrix Q(rows, cols);
        Matrix R(cols, cols);
        Q.setIdentity(); // 初始化Q矩阵为单位矩阵
        R.fill(0); // 初始化R矩阵为0
        for (int i = 0; i < 10; i++) { // 最多迭代10次
            QR(Q, R); // 进行QR分解
            *this = R * Q; // 计算A矩阵的下一次迭代
        }
        eigenvalues.resize(cols, 1); // 初始化特征值矩阵
        eigenvectors.resize(rows, cols); // 初始化特征向量矩阵
        for (int i = 0; i < cols; i++) {
            eigenvalues(i, 0) = (*this)(i, i); // 将A矩阵的对角线元素作为特征值
            for (int j = 0; j < rows; j++)
                eigenvectors(j, i) = Q(j, i); // Q矩阵的第i列作为特征向量
        }
    }

    void setIdentity() { // 初始化为单位矩阵
        fill(0);
        for (int i = 0; i < rows && i < cols; i++)
            (*this)(i, i) = 1;
    }

    void fill(double val) { // 填充矩阵
        for (int i = 0; i < rows; i++)
            for (int j = 0; j < cols; j++)
                (*this)(i, j) = val;
    }

    void resize(int r, int c) { // 重新设置行数、列数
        double* newdata = new double[r * c];
        for (int i = 0; i < r; i++)
            for (int j = 0; j < c; j++)
                newdata[i * c + j] = (i < rows && j < cols) ? data[i * cols + j] : 0;
        delete[] data;
        data = newdata;
        rows = r;
        cols = c;
    }

private:
    int rows, cols;
    double* data;
};

int main() {
    Matrix A(3, 3); // 创建一个3x3的矩阵A
    A(0, 0) = 1; A(0, 1) = 2; A(0, 2) = 3;
    A(1, 0) = 2; A(1, 1) = 3; A(1, 2) = 2;
    A(2, 0) = 3; A(2, 1) = 2; A(2, 2) = 1;
    Matrix eigenvectors, eigenvalues;
    A.eigen(eigenvectors, eigenvalues); // 求解特征值和特征向量
    cout << "Eigenvalues:" << endl;
    eigenvalues.print(); // 输出特征值
    cout << "Eigenvectors:" << endl;
    eigenvectors.print(); // 输出特征向量
    return 0;
}

注释中解释了每个函数的功能和实现方法，其中最重要的是QR分解的实现，通过QR分解可以将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，从而求解矩阵的特征值和特征向量。在实现中，我们使用一维数组存储矩阵数据，通过重载()运算符实现矩阵元素的访问。