hopf分岔matlab程序

下面是一个简单的Hopf分岔的Matlab程序，其中使用ode45求解常微分方程组：

function hopf_bifurcation()
% Hopf bifurcation example
% dx/dt = rx - x^3 - 2xy^2
% dy/dt = ry - y^3 - 2x^2y

% Parameters
r_range = [0 3];
n_r = 100;
x0 = [0.1 0];
tspan = [0 20];

% Calculate eigenvalues and eigenvectors at equilibrium point
eq_pt = [0 0];
[V, D] = eig(jacobian(eq_pt));
eig_re = real(diag(D));
eig_im = imag(diag(D));

% Plot eigenvalues in complex plane
figure(1);
plot(eig_re, eig_im, 'o');
xlabel('Real part');
ylabel('Imaginary part');
title('Eigenvalues at equilibrium point');

% Calculate and plot nullclines
x = linspace(-2, 2, 100);
y_nullcline = sqrt(r_range(1)./x.^2 - 1/2);
figure(2);
plot(x, y_nullcline, 'r', x, -y_nullcline, 'r');
hold on;
x_nullcline = sqrt(r_range(1)./2);
plot(x_nullcline*[1 1], [-2 2], 'b');
hold off;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Nullclines');

% Solve ODE for different values of r
r_values = linspace(r_range(1), r_range(2), n_r);
for i = 1:length(r_values)
    r = r_values(i);
    ode = @(t, x) hopf_rhs(t, x, r);
    [t, sol] = ode45(ode, tspan, x0);
    x = sol(:, 1);
    y = sol(:, 2);
    
    % Plot solution
    figure(3);
    plot(x, y);
    hold on;
    xlabel('x');
    ylabel('y');
    title('Solution for different values of r');
end

% Plot bifurcation diagram
figure(4);
plot(r_values, sol(:,1));
xlabel('r');
ylabel('x');
title('Bifurcation diagram');

end

function dxdt = hopf_rhs(t, x, r)
% Hopf bifurcation right-hand side

dxdt = [r*x(1) - x(1)^3 - 2*x(1)*x(2)^2;
        r*x(2) - x(2)^3 - 2*x(1)^2*x(2)];
end

function J = jacobian(x)
% Jacobian matrix at equilibrium point

J = [-3*x(1)^2 + x(2)^2, -4*x(1)*x(2);
     -4*x(1)*x(2), -3*x(2)^2 + x(1)^2];
end

程序中定义了一个Hopf分岔的右手边函数`hopf_rhs`，以及计算雅可比矩阵的函数`jacobian`。在主函数中，通过调用ode45求解常微分方程组，并绘制不同参数下的解曲线和分岔图。

请注意，此程序只是Hopf分岔的简单示例，可能需要根据具体问题进行修改和调整。