Lab7 - 欧拉函数

欧拉函数（Euler's Totient Function），也称为积性函数，是指小于等于正整数n的数中与n互质的数的个数。我们通常用φ(n)表示欧拉函数。

具体来说，如果n是一个正整数，那么φ(n)表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数。例如，φ(1)=1，因为1是唯一的小于等于1的正整数且1与1互质；φ(2)=1，因为小于等于2的正整数中只有1与2互质；φ(3)=2，因为小于等于3的正整数中与3互质的数是1和2。

欧拉函数的计算方法有很多，下面介绍两种常见的方法：

1. 分解质因数法

将n分解质因数，假设n的质因数分别为p1, p2, …, pk，则φ(n) = n × (1 - 1/p1) × (1 - 1/p2) × … × (1 - 1/pk)。例如，对于n=30，我们将其分解质因数得到30=2×3×5，则φ(30) = 30 × (1-1/2) × (1-1/3) × (1-1/5) = 8。

2. 筛法

我们可以使用筛法（Sieve）来计算欧拉函数。具体地，我们可以先将φ(1)至φ(n)全部初始化为其下标值，然后从2开始遍历到n，将所有能被当前遍历到的数整除的数的欧拉函数值减1即可。例如，对于n=6，我们先初始化φ(1)=1, φ(2)=2, φ(3)=3, φ(4)=4, φ(5)=5, φ(6)=6，然后从2开始遍历，将2的倍数的欧拉函数值减1，即φ(4)=φ(6)=2；然后遍历3，将3的倍数的欧拉函数值减1，即φ(6)=2。最终得到φ(1)=1, φ(2)=1, φ(3)=2, φ(4)=2, φ(5)=4, φ(6)=2。

欧拉函数在数论中有很重要的应用，例如RSA算法的安全性就基于欧拉函数的难解性。