非齐次坐标和齐次坐标的运算

非齐次坐标和齐次坐标是在计算机图形学中常用的两种表示方法，用于描述二维或三维空间中的点或向量。

非齐次坐标是指直接使用笛卡尔坐标系表示的点或向量，也称为笛卡尔坐标。在二维空间中，非齐次坐标通常表示为 (x, y)，在三维空间中通常表示为 (x, y, z)。非齐次坐标的运算包括点之间的加减、点与向量之间的加减等。

齐次坐标是一种将非齐次坐标扩展为四维的表示方法，通常用齐次坐标表示的点或向量可以写成 (x, y, z, w) 的形式。其中，w 不为零时，点或向量的非齐次坐标为 (x/w, y/w, z/w)。齐次坐标的运算包括点之间的加减、点与向量之间的加减，以及点与点之间的乘法等。

在进行非齐次坐标和齐次坐标的运算时，需要注意将非齐次坐标转换为齐次坐标或将齐次坐标转换为非齐次坐标。转换过程中，需要对齐次坐标进行归一化，即将其除以齐次坐标的最后一位元素，以保证 w 值为 1。

总结起来，非齐次坐标和齐次坐标的运算包括点之间的加减、点与向量之间的加减，以及点与点之间的乘法。在进行运算时，需要注意坐标的转换和归一化。

相关问题

opencv什么叫齐次坐标

### 回答1：
齐次坐标（Homogeneous coordinates）是计算机视觉和图形学中常用的一种坐标系统。它可以将几何图形中的点、向量、平面等抽象概念用一个更为简单和统一的方式表示出来，从而方便计算机对它们进行处理。

在齐次坐标中，一个点的坐标由四个分量表示，通常表示为(x, y, z, w)，其中(x, y, z)是点在三维空间中的坐标，w是一个称为齐次坐标参数（homogeneous coordinate parameter）的参数。齐次坐标参数可以取任意非零值，但是通常取1，这样可以避免数值计算中的除法操作。

使用齐次坐标，可以将二维图形中的变换表示为一个3x3的矩阵变换，而将三维图形中的变换表示为一个4x4的矩阵变换，这样可以方便地进行矩阵乘法等数值计算。齐次坐标还可以用于表示平面、直线和多边形等几何图形，方便进行投影和变换操作。

### 回答2：
齐次坐标是指在计算机视觉中广泛应用的一种扩展形式的坐标表示方法。在齐次坐标中，一个点的坐标由其原始的几何坐标（x、y）和一个额外的维度（w）组成，即（x, y, w）。

齐次坐标可以理解为在欧几里得空间中的同一个坐标系中，通过引入一个额外的维度w来扩展原始坐标。这个额外的维度w允许我们同时表示平移和旋转操作，从而更方便地进行计算。

在齐次坐标中，一个点的坐标可以通过除以w来恢复原始的几何坐标，即：x = x' / w，y = y' / w。这意味着通过齐次坐标可以方便地进行坐标变换，例如平移、旋转、缩放等，并且不需要进行额外的计算。

齐次坐标在计算机视觉中的广泛应用主要体现在图像变换和计算几何变换中。例如，在图像变换中，我们可以通过齐次坐标方便地进行图像的平移、旋转等操作。在计算几何变换中，我们可以通过齐次坐标进行方便地进行三维点的投影等操作。

总之，齐次坐标通过引入一个额外的维度w，扩展了原始点的坐标表示，方便了计算机视觉中的图像变换和几何变换的操作。

### 回答3：
齐次坐标是计算机视觉领域中常用的一种表示方法，它是通过在传统的欧几里得坐标系上引入一个额外的维度来扩展的。具体来说，在齐次坐标中，一个点或向量由四个分量表示，通常记作(x, y, z, w)，其中(x, y, z)表示点的三维坐标，w表示缩放因子。

齐次坐标的一个重要应用是可以将欧几里得空间中的平移运算与仿射变换（包括平移、旋转、缩放和错切）统一起来。通过齐次坐标，我们可以将平移操作以矩阵的形式表示，并与其他变换操作（如旋转、缩放）组合在一起。

齐次坐标还可以简化对图像的透视变换处理。在传统的欧几里得空间中，透视变换会引入非线性变换，计算复杂度较高。而在齐次坐标中，透视变换可以通过线性变换来表示，简化了计算过程。

在OpenCV库中，齐次坐标经常用于表示图像中的关键点（如角点、边缘点）和几何变换过程中。OpenCV提供了丰富的函数和工具，用于处理和计算齐次坐标表示的点和向量，包括坐标转换、透视变换、仿射变换等。

总之，齐次坐标是计算机视觉中一种重要的数学工具，它通过引入额外的维度，将欧几里得空间中的几何变换问题转化为线性变换问题，简化了计算过程，提高了计算效率。

解释齐次坐标中点与向量的表示

在齐次坐标系中，点和向量都可以用4维向量表示。其中，点的表示是(x,y,z,1)，向量的表示是(x,y,z,0)。点和向量的区别在于最后一维的值，点的最后一维是1，向量的最后一维是0。所以，可以通过判断最后一维是否为1来区分点和向量。

齐次坐标中的中点表示就是将两个点的坐标进行加法运算，然后将结果除以2。例如，对于两个点P(x1,y1,z1,1)和Q(x2,y2,z2,1)，它们的中点M可以表示为M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2, 1)。

齐次坐标中的向量可以表示为点的差。例如，对于两个点P(x1,y1,z1,1)和Q(x2,y2,z2,1)，它们之间的向量可以表示为V(x2-x1, y2-y1, z2-z1, 0)。