用三角形顶点的线性组合来表示三角形内的任意一点的程序

下面是一个C++程序，可以用三角形顶点的线性组合来表示三角形内的任意一点：

#include <iostream>
using namespace std;

// 定义三维向量
struct Vector3 {
    double x, y, z;
    Vector3(double x = 0, double y = 0, double z = 0): x(x), y(y), z(z) {}
};

// 定义三角形
struct Triangle {
    Vector3 v1, v2, v3;
    Triangle(Vector3 v1, Vector3 v2, Vector3 v3): v1(v1), v2(v2), v3(v3) {}
};

// 计算三角形面积
double triangleArea(Triangle t) {
    Vector3 v1 = t.v2 - t.v1;
    Vector3 v2 = t.v3 - t.v1;
    return 0.5 * sqrt(pow(v1.y * v2.z - v1.z * v2.y, 2) + pow(v1.z * v2.x - v1.x * v2.z, 2) + pow(v1.x * v2.y - v1.y * v2.x, 2));
}

// 判断点是否在三角形内部
bool isInsideTriangle(Triangle t, Vector3 p) {
    double area1 = triangleArea(Triangle(t.v1, t.v2, p));
    double area2 = triangleArea(Triangle(t.v2, t.v3, p));
    double area3 = triangleArea(Triangle(t.v3, t.v1, p));
    double areaSum = area1 + area2 + area3;
    double triangleAreaSum = triangleArea(t);
    return areaSum >= triangleAreaSum - 1e-6;  // 使用 1e-6 作为精度误差
}

// 计算三角形顶点的线性组合
Vector3 barycentric(Triangle t, Vector3 p) {
    Vector3 v1 = t.v2 - t.v1;
    Vector3 v2 = t.v3 - t.v1;
    Vector3 v3 = p - t.v1;
    double d00 = v1.x * v1.x + v1.y * v1.y + v1.z * v1.z;
    double d01 = v1.x * v2.x + v1.y * v2.y + v1.z * v2.z;
    double d11 = v2.x * v2.x + v2.y * v2.y + v2.z * v2.z;
    double d20 = v3.x * v1.x + v3.y * v1.y + v3.z * v1.z;
    double d21 = v3.x * v2.x + v3.y * v2.y + v3.z * v2.z;
    double denom = d00 * d11 - d01 * d01;
    double v = (d11 * d20 - d01 * d21) / denom;
    double w = (d00 * d21 - d01 * d20) / denom;
    double u = 1.0 - v - w;
    return Vector3(u, v, w);
}

int main() {
    // 定义三角形顶点和测试点
    Vector3 v1(0, 0, 0), v2(1, 0, 0), v3(0, 1, 0), p(0.5, 0.5, 0);

    // 构建三角形并检查点是否在三角形内部
    Triangle t(v1, v2, v3);
    if (isInsideTriangle(t, p)) {
        cout << "The point is inside the triangle." << endl;

        // 计算三角形顶点的线性组合
        Vector3 b = barycentric(t, p);
        cout << "barycentric coordinates: u=" << b.x << ", v=" << b.y << ", w=" << b.z << endl;
    } else {
        cout << "The point is outside the triangle." << endl;
    }

    return 0;
}

这个程序中，我们首先定义了一个 Vector3 结构体表示三维向量，然后定义了一个 Triangle 结构体表示三角形。接着，我们实现了 triangleArea 函数来计算三角形面积，isInsideTriangle 函数来判断一个点是否在三角形内部，以及 barycentric 函数来计算三角形顶点的线性组合。

在主函数中，我们定义了三角形顶点和测试点，并构建了一个 Triangle 对象。然后，我们调用 isInsideTriangle 函数来检查点是否在三角形内部，如果点在三角形内部，就调用 barycentric 函数来计算三角形顶点的线性组合并输出结果。