请用toeplitz矩阵自定义一个实现卷积功能的matlab代码并举一个简单的例子

在MATLAB中，我们可以利用Toeplitz矩阵来实现离散傅立叶变换（DFT）的一种近似卷积操作，因为卷积在频域相当于两个信号的点乘。为了创建一个自定义函数，我们将首先定义一个生成Toeplitz矩阵的函数，然后创建一个简单的卷积操作。

% 定义生成Toeplitz矩阵的函数
function T = toeplitz_convolution(h)
    if nargin < 1 || isempty(h)
        h = ones(1, 1); % 使用默认的一维单位序列
    end
    N = length(h);
    T = zeros(N + length(h) - 1, N + length(h) - 1);
    for i = 0:N - 1
        T(i+1, i+1:i+N) = h;
        T(i+1+i:N+1+i, 1:i+1) = flipud(h);
    end
end

% 创建简单示例
h = [1 2]; % 卷积核
x = [3 4 5]; % 输入信号

% 利用 Toeplitz 矩阵实现卷积
convolved_signal = ifft(toeplitz_convolution(h) * fft(x));

% 输出结果及验证
disp('Convolved signal (approximated using Toeplitz matrix):')
disp(convolved_signal)

% 手动计算卷积作为参考
manual_conv = conv(x, h, 'same');
disp('Manual convolution:')
disp(manual_conv)

% 验证两者是否一致
if isequal(abs(convolved_signal), abs(manual_conv))
    disp('Convolution results match.');
else
    disp('Convolution results do not match exactly.');
end