C++高精度快速幂求完全数

在C++中，高精度计算和快速幂算法通常用于处理大整数，特别是当涉及到指数运算时。要计算一个数n是否为完全数，我们需要找到所有小于等于n的正因子之和，然后判断这个和是否等于n。对于非常大的数值，直接遍历因子可能会很慢，这时可以利用快速幂的思想来加速。

以下是使用模板类和迭代器实现的一个简单版本的高精度快速幂算法，然后结合循环来查找完全数：

#include <vector>
using namespace std;

// 高精度乘法函数
template<typename Tp>
Tp mul(Tp a, Tp b) {
    vector<Tp> result(1, 0);
    for (auto &c : result) {
        while (b > 0) {
            if (b % 2 == 1)
                c += a;
            a <<= 1; // 左移操作
            b >>= 1; // 右移操作
        }
    }
    return result[0];
}

// 判断是否为完全数的辅助函数
bool isPerfectNumberHelper(const vector<Tp>& num, size_t target) {
    if (num.size() == 1 && num[0] == target)
        return true;
    size_t sum = 1;
    for (size_t i = 1; i < num.size(); ++i)
        sum += num[i];
    return sum == target;
}

// 主函数，计算给定数值的所有因子并判断是否为完全数
template<typename Tp>
bool isPerfectNumber(const vector<Tp>& n) {
    Tp prod = 1;
    for (const auto &d : n) {
        prod = mul(prod, d);
        if (isPerfectNumberHelper(prod, n[0])) // 如果乘积已经大于n，说明找不到更多的因子了
            return true;
    }
    return false;
}

// 示例
int main() {
    vector<int> digits = {2, 8}; // 2^8 = 256, 先考虑2作为基数
    bool isPerfect = isPerfectNumber(digits); // 检查256是否为完全数
    if (isPerfect)
        cout << "256 is a perfect number." << endl;
    else
        cout << "256 is not a perfect number." << endl;

    return 0;
}