10.设S是A上一个等价关系,R=S*S(即S2)。证明R也是A上一个等价关系
时间: 2024-04-22 18:23:55 浏览: 11
为了证明R是A上的等价关系,需要满足以下三个条件:
1. 自反性:对于任意的a∈A,(a,a)∈R。
2. 对称性:对于任意的a,b∈A,如果(a,b)∈R,那么(b,a)∈R。
3. 传递性:对于任意的a,b,c∈A,如果(a,b)∈R且(b,c)∈R,那么(a,c)∈R。
首先证明R满足自反性。对于任意的a∈A,(a,a)是S的一个元素,因为S是等价关系,所以(a,a)∈S*S=R。因此,R满足自反性。
接下来证明R满足对称性。对于任意的a,b∈A,如果(a,b)∈R,那么存在c∈A,使得(a,c)∈S且(c,b)∈S。因为S是等价关系,所以也有(b,a)∈S。类似地,由(b,a)∈S和S是等价关系可知(a,b)∈S,因此(a,b)∈S*S=R。因此,R满足对称性。
最后证明R满足传递性。对于任意的a,b,c∈A,如果(a,b)∈R且(b,c)∈R,那么存在d,e∈A,使得(a,d)∈S,(d,b)∈S,(b,e)∈S和(e,c)∈S。因为S是等价关系,所以(d,e)∈S。因此,有(a,e)∈S*S=R。因此,R满足传递性。
综上所述,R满足自反性、对称性和传递性,因此R是A上的等价关系。