fista图像恢复代码

FISTA是一种常用于图像恢复问题的快速迭代算法，通过捕捉图像中的稀疏结构来去除图像中的噪声和失真。FISTA算法包含两个步骤：将原始图像压缩为稀疏字典表示，并使用这些表示来提取重要信息的恢复图像。以下是FISTA图像恢复代码的基本框架：

1. 定义惩罚函数：FISTA算法使用的惩罚函数通常为L1正则化，即目标函数为 λ||x||1+1/2||Ax-b||2，其中x为图像的稀疏表示，A为计算稀疏表示的稀疏矩阵，b为噪声图像的测量值，λ为自适应参数。

2. 初始化参数：设置恢复图像的稀疏表示x和迭代次数t。

3. 迭代更新：使用proximal operator（数据处理函数）更新稀疏表示x：

$$y_n=\text{prox}_{\lambda||\cdot||1}(x_n-\gamma_n A^T(Ax_n-b))$$

然后计算步长：

$$t_{n+1}=\frac{1+\sqrt{4t_n^2+1}}{2}$$

更新参数：

$$x_{n+1}=y_n+\frac{t_n-1}{t_{n+1}}(y_n-y_{n-1})$$

4. 终止条件：当达到所需精度或最大迭代次数时，停止迭代。

5. 结果显示：根据恢复的稀疏表示x，使用A重建原始图像，将恢复结果与原始图像进行比较。

以MATLAB为例，以下是FISTA图像恢复代码的具体实现：

function [x,rel] = fista(AtA,Atb,U,sigma,lambda,tol,maxit)
x = zeros(size(U,2),1);
y = x;
t = 1;
for k=1:maxit
    z = y + U'*(Atb-AtA*y)/sigma;
    %proximal operator
    x = shrinkage(z,lambda/sigma);
    new_t = (1+sqrt(1+4*t^2))/2;
    y = x + ((t-1)/new_t)*(x-x_old);
    t = new_t;
    x_old = x;
    rel = norm(x-x_old)/norm(x_old);
    if (rel<tol) %convergence check
        break;
    end
end
end
function y = shrinkage(x,r)
y = sign(x).*max(abs(x)-r,0);
end

其中，AtA和Atb为计算稀疏表示的系数矩阵和测量值，U和sigma为对称奇异值分解(U,diag(sigma),U')，lambda为L1正则化参数，tol和maxit为迭代收敛条件。