matlab实现共轭梯度法结合快速傅里叶变换

共轭梯度法结合快速傅里叶变换可以用于解决线性方程组的求解问题。以下是MATLAB代码示例：

% 定义线性方程组系数矩阵A和右侧向量b
A = [4,-1,1;-1,4.25,2.75;1,2.75,3.5];
b = [1;2;3];

% 定义初始点x0和迭代次数k
x0 = [0;0;0];
k = 3;

% 计算A的对称正定部分S和A的对称部分T
S = (1/2)*(A+A');
T = A-S;

% 定义r0和p0
r0 = b-A*x0;
p0 = r0;

% 定义DFT矩阵F
n = length(A);
F = exp(-2*pi*1i/n).^(0:n-1);

% 共轭梯度法结合快速傅里叶变换迭代求解
for i = 1:k
    % 计算alpha
    Ap = A*p0;
    alpha = (r0'*r0)/(p0'*Ap);
    
    % 更新x和r
    x1 = x0 + alpha*p0;
    r1 = r0 - alpha*Ap;
    
    % 计算beta
    Sp1 = S*p0;
    Tp1 = T*p0;
    rF = F*r1;
    Sp1F = F*Sp1;
    Tp1F = F*Tp1;
    beta = (rF'*Sp1F)/(Tp1F'*Sp1F);
    
    % 更新p
    p1 = r1 + beta*(Sp1 + Tp1);
    
    % 更新x0和r0
    x0 = x1;
    r0 = r1;
    p0 = p1;
end

% 输出结果
disp(x0);

其中，变量S表示A的对称正定部分，变量T表示A的对称部分，变量F表示DFT矩阵，变量r和p表示共轭梯度法中的残差向量和搜索方向向量，变量alpha和beta表示共轭梯度法中的步长。