python AEKF

### Python 实现自适应扩展卡尔曼滤波器

#### 自适应扩展卡尔曼滤波器简介
自适应扩展卡尔曼滤波器（Adaptive Extended Kalman Filter, AEKF）是一种改进型的卡尔曼滤波算法，用于处理非线性动态系统的状态估计问题。AEKF通过引入额外机制来调整过程噪声协方差矩阵 \( Q \)，从而提高滤波性能和鲁棒性。

#### 主要组成部分
1. **预测阶段**
- 预测状态向量 \( \hat{x}_{k|k-1} = f(\hat{x}_{k-1|k-1}, u_k) \)[^1]
- 计算雅可比矩阵 \( F_{k-1}=\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{\hat{x}_{k-1|k-1}} \)
- 更新先验误差协方差矩阵 \( P_{k|k-1}=F_{k-1}P_{k-1|k-1}F_{k-1}^{T}+Q_{k-1}(r_k) \)

2. **更新阶段**
- 测量残差 \( y_k=z_k-h(\hat{x}_{k|k-1}) \)
- 测量雅可比矩阵 \( H_k=\frac{\partial h}{\partial x}\bigg|_{\hat{x}_{k|k-1}} \)
- 卡尔曼增益 \( K_k=P_{k|k-1}H_k^T(H_kP_{k|k-1}H_k^T+R)^{-1} \)
- 后验状态估计 \( \hat{x}_{k|k}=\hat{x}_{k|k-1}+K_ky_k \)
- 后验误差协方差 \( P_{k|k}=(I-K_kH_k)P_{k|k-1} \)

3. **自适应调节**
- 使用创新序列计算均值和方差以评估模型偏差
- 调整过程噪声协方差矩阵 \( Q(r_k)=diag(q_0,\dots,q_n)\cdot r_k \)，其中 \( r_k \) 是基于当前时刻测量数据得到的比例因子

#### Python 代码示例
下面是一个简单的 AEKF 的 Python 实现：

import numpy as np
from filterpy.kalman import ExtendedKalmanFilter as EKF


class AdaptiveEKF(EKF):

    def __init__(self, dim_x, dim_z, dt):
        super().__init__(dim_x=dim_x, dim_z=dim_z)
        self.dt = dt
        
    def update(self, z, R=None, HJacobian_at=None, hx=None):
        # 执行标准 EKF 更新步骤...
        super().update(z, R=R, HJacobian_at=HJacobian_at, hx=hx)

        # 创新序列分析并调整 Q 矩阵
        innovation = z - self.hx()
        residual_covariance = np.dot(np.dot(self.H, self.P), self.H.T) + self.R
        normalized_innovation_squared = np.dot(innovation.T,
                                               np.linalg.solve(residual_covariance, innovation))
        
        alpha = max(1., min(normalized_innovation_squared / self.dim_z, 1e6))  # 控制范围内的比例因子
        self.Q *= alpha  # 动态调整 Q
    
def example_usage():
    ekf = AdaptiveEKF(dim_x=4, dim_z=2, dt=0.1)
    
    # 初始化参数...
    ekf.x = np.array([[0], [0], [0], [0]])  # 初始状态
    ekf.F = ...                             # 过程转移函数 Jacobian
    ekf.H = ...                             # 测量函数 Jacobian
    ekf.P *= 100                            # 初试误差协方差
    ekf.R = ...                             # 测量噪声协方差
    ekf.Q = ...                             # 过程噪声协方差
    
    measurements = [...]                    # 加载实际观测数据
    for measurement in measurements:
        ekf.predict()                       # 预测步
        ekf.update(measurement)             # 更新步

example_usage()