计算勒贝格积分[1,5]f(x)dx,其中f(x)=0，x为有理数，f(x)=1，x为无理数

由于有理数和无理数在实数轴上是无法区分的，因此我们需要考虑如何对勒贝格积分进行处理。

首先，由于f(x)只在无理数点上取值为1，因此我们可以通过对有理数点和无理数点的分离来计算勒贝格积分。具体来说，我们可以定义两个集合：

$A=\{x\in[1,5]|x\text{为有理数}\}$

$B=[1,5]\setminus A=\{x\in[1,5]|x\text{为无理数}\}$

显然，$A$和$B$是互斥的，并且它们的并集等于$[1,5]$。因此，我们可以将勒贝格积分分解为两个部分：

$\int_{[1,5]}f(x)dx=\int_A f(x)dx+\int_B f(x)dx$

对于第一个积分，由于f(x)在有理数点上取值为0，因此有：

$\int_A f(x)dx=\int_A 0dx=0$

对于第二个积分，由于f(x)在无理数点上取值为1，因此有：

$\int_B f(x)dx=\int_B 1dx=\text{勒贝格测度}(B)$

由于$B$是$[1,5]$中的无理数集合，因此它的测度不为0。具体来说，我们可以将$B$表示为闭区间$[1,5]$减去（有理数点组成的）可数集合，从而得到：

$\text{勒贝格测度}(B)=\text{勒贝格测度}([1,5]\setminus A)\geq \text{勒贝格测度}([1,5]\setminus \mathbb{Q})>0$

其中，$\mathbb{Q}$表示有理数集合。最后一个不等式成立是因为无理数集合$[1,5]\setminus \mathbb{Q}$是不可数的，而勒贝格测度是对可数集合定义的，因此无理数集合的测度一定大于0。

综上所述，我们有：

$\int_{[1,5]}f(x)dx=\int_A f(x)dx+\int_B f(x)dx=0+\text{勒贝格测度}(B)>0$

因此，勒贝格积分的值为正，但具体的数值无法计算。