膨胀卷积的数学公式表示

### 膨胀卷积的数学公式推导与解释

对于标准卷积操作，滤波器按照连续的空间位置滑动。然而，在膨胀卷积（也称为空洞卷积）中，滤波器之间存在间隔，这些间隔由膨胀率 \( r \) 控制。

假设输入张量为 \( I \)，其尺寸为 \( H \times W \times C_{in} \)，其中 \( H, W \) 是高度和宽度，\( C_{in} \) 表示通道数；膨胀卷积核大小为 \( K \times K \)，膨胀率为 \( r \)[^1]。

膨胀卷积的有效感受野可以通过下面的公式计算：

\[ R = (K - 1) \cdot r + 1 \]

这里 \( R \) 表示有效感受野大小。当膨胀率 \( r=1 \) 时，膨胀卷积退化成普通的卷积运算[^2]。

设输出特征图的一个元素位于第 \( i,j \) 的位置，则该元素可以表示为如下形式：

\[
O(i, j)=\sum_{m=-R / 2}^{R / 2}\sum _{n=-R/2 } ^ {R/2}I(i+m*r ,j+n *r )W(m,n)+b
\]

在这个表达式里，\( O(i, j) \) 是输出特征图中的某个像素值；\( W(m, n) \) 和 \( b \) 分别代表权重矩阵及其偏置项；而 \( m*n \) 则遍历整个卷积核窗口内的相对坐标位移[^3]。

为了更直观理解这个过程，考虑一个简单的例子：如果有一个 \( 3\times3 \) 卷积核应用于图像上，并设置膨胀因子为2，那么实际上会跳过一些相邻像素来应用此内核，从而使得实际的感受野扩大到了 \( 5\times5 \)。

import torch.nn as nn

conv_dilated = nn.Conv2d(in_channels=3,
                         out_channels=64,
                         kernel_size=(3, 3),
                         stride=(1, 1),
                         dilation=(2, 2))

上述代码展示了如何利用 PyTorch 创建具有指定参数的二维膨胀卷积层实例[^4]。