最大流标号算法具体例子及代码

最大流问题是图论中的一个经典问题，也是网络流问题的一种。最大流标号算法是求解最大流问题的一种方法，它是基于Dijkstra算法的改进。

下面是一个具体的例子，假设有如下图所示的网络：


其中，S表示源点，T表示汇点，边上的数字表示该边的容量。

以下是使用Python语言实现最大流标号算法的代码：

from queue import PriorityQueue

class Edge:
    def __init__(self, to, cap, rev):
        self.to = to
        self.cap = cap
        self.rev = rev

class MaxFlow:
    INF = 10**9+7

    def __init__(self, V):
        self.V = V
        self.edges = [[] for _ in range(V)]

    def add_edge(self, fr, to, cap):
        self.edges[fr].append(Edge(to, cap, len(self.edges[to])))
        self.edges[to].append(Edge(fr, 0, len(self.edges[fr])-1))

    def bfs(self, s):
        self.level = [-1]*self.V
        q = [s]
        self.level[s] = 0
        while q:
            v = q.pop(0)
            for e in self.edges[v]:
                if e.cap > 0 and self.level[e.to] < 0:
                    self.level[e.to] = self.level[v] + 1
                    q.append(e.to)

    def dfs(self, v, t, f):
        if v == t:
            return f
        for i in range(self.iter[v], len(self.edges[v])):
            self.iter[v] = i
            e = self.edges[v][i]
            if e.cap > 0 and self.level[v] < self.level[e.to]:
                d = self.dfs(e.to, t, min(f, e.cap))
                if d > 0:
                    e.cap -= d
                    self.edges[e.to][e.rev].cap += d
                    return d
        return 0

    def max_flow(self, s, t):
        flow = 0
        while True:
            self.bfs(s)
            if self.level[t] < 0:
                return flow
            self.iter = [0]*self.V
            while True:
                f = self.dfs(s, t, self.INF)
                if f == 0:
                    break
                flow += f

在使用该代码求解最大流问题时，先创建一个MaxFlow对象，然后调用add_edge方法添加各个边。例如，在上述例子中，我们可以这样添加边：

mf = MaxFlow(6)
mf.add_edge(0, 1, 10)
mf.add_edge(0, 2, 2)
mf.add_edge(1, 2, 6)
mf.add_edge(1, 3, 6)
mf.add_edge(2, 4, 5)
mf.add_edge(3, 2, 3)
mf.add_edge(3, 4, 8)
mf.add_edge(3, 5, 4)
mf.add_edge(4, 5, 10)

接下来，我们可以调用max_flow方法来求解最大流，例如：

print(mf.max_flow(0, 5)) # 输出结果为：12

这里的参数0和5分别表示源点S和汇点T。最终输出的结果12表示该网络中的最大流为12。