复化高斯型求积公式的原理

时间: 2023-08-16 19:50:31 浏览: 25
复化高斯型求积公式的原理是利用高斯-勒让德多项式的零点和权值来近似计算积分值。高斯-勒让德多项式是一类特殊的正交多项式,其零点和权值具有一定的规律性,可以用来构造数值积分公式。 具体来说,我们将积分区间$[a,b]$等分成$m$个小区间,然后在每个小区间上应用高斯-勒让德多项式的根和权值来进行积分的近似计算。这样得到的结果是对每个小区间上的积分值的加权平均,从而近似得到整个区间上的积分值。 随着高斯-勒让德多项式的次数$n$的增加,我们可以得到更高精度的近似积分值。但是,随着$n$的增加,计算量也会增加,因此需要权衡精度和计算效率的问题。
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两个节点复化高斯型求积公式

复化高斯型求积公式是一种用于数值积分的方法,可以用来计算一定区间内的函数积分。对于两个节点的情况,其复化高斯型求积公式为: $$\int_a^b f(x) dx \approx \frac{b-a}{2}\left(w_1f\left(\frac{b-a}{2}x_1+\frac{b+a}{2}\right)+w_2f\left(\frac{b-a}{2}x_2+\frac{b+a}{2}\right)\right)$$ 其中 $x_1=-\frac{1}{\sqrt{3}},\ x_2=\frac{1}{\sqrt{3}},\ w_1=w_2=1$ 是高斯型求积公式的节点和权重。该公式的精度为 $\mathcal{O}(h^3)$,其中 $h=\frac{b-a}{2}$ 是每个子区间的长度。

两个节点复化高斯型求积公式matlab

以下是两个节点复化高斯型求积公式的 MATLAB 代码: 1. 对于区间 [a,b],使用两个节点的复化高斯型求积公式: ```matlab function I = Gauss2(f,a,b) % Gauss2: 2-node Gauss quadrature % I = Gauss2(f,a,b): 2-node Gauss quadrature of f(x) over [a,b] % input: % f = input funtion % a,b = integration limits % output: % I = integral of f(x) over [a,b] x = [-0.5773502692, 0.5773502692]; % nodes w = [1.0, 1.0]; % weights I = (b-a)/2 * sum(w .* f((b-a)/2 * x + (b+a)/2)); ``` 2. 对于区间 [a,b],使用两个节点的复化高斯型求积公式,将区间等分为 n 个子区间,每个子区间使用两个节点的复化高斯型求积公式: ```matlab function I = Gauss2c(f,a,b,n) % Gauss2c: Composite 2-node Gauss quadrature % I = Gauss2c(f,a,b,n): Composite 2-node Gauss quadrature of f(x) over [a,b], using n subintervals % input: % f = input funtion % a,b = integration limits % n = number of subintervals % output: % I = integral of f(x) over [a,b] x = [-0.5773502692, 0.5773502692]; % nodes w = [1.0, 1.0]; % weights h = (b-a)/n; % subinterval width I = 0; for i = 1:n I = I + sum(w .* f((h/2) * x + (a+(i-0.5)*h))); end I = (b-a)/(2*n) * I; ```

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高斯求积是一种数值积分的方法,可以用来求解定积分。在Matlab中,可以通过编写以下代码来实现高斯求积公式: matlab function [result] = gaussQuadrature(f, a, b, n) % 计算高斯求积公式的结果 % 输入参数: % f: 要积分的函数 % a: 积分下限 % b: 积分上限 % n: 高斯求积的阶数 % 计算高斯求积的节点和权重 [nodes, weights] = gaussNodesWeights(n); % 将积分区间从[-1,1]映射到[a,b] mapped_nodes = ((b-a)*nodes + (a+b)) / 2; mapped_weights = (b-a)/2 * weights; % 计算对应的函数值 result = sum(mapped_weights .* f(mapped_nodes)); end function [nodes, weights] = gaussNodesWeights(n) % 计算高斯求积的节点和权重 % 输入参数: % n: 高斯求积的阶数 % 输出参数: % nodes: 高斯求积的节点 % weights: 高斯求积的权重 % 预先计算好高斯求积的节点和权重 switch n case 1 nodes = 0; weights = 2; case 2 nodes = [-sqrt(1/3), sqrt(1/3)]; weights = [1, 1]; case 3 nodes = [0, -sqrt(3/5), sqrt(3/5)]; weights = [8/9, 5/9, 5/9]; otherwise error('Unsupported order of Gauss quadrature.'); end end 这段Matlab代码定义了一个gaussQuadrature函数,用来计算给定函数在指定积分区间上的积分值。函数中先调用gaussNodesWeights计算高斯求积的节点和权重,然后通过节点和权重进行加权求和得到积分结果。同时,gaussNodesWeights函数用来计算不同阶数的高斯求积节点和权重,以供gaussQuadrature函数调用。 通过以上代码,可以方便地在Matlab中实现高斯求积公式,用于数值积分计算。

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