基于llr的贝叶斯网络

基于LLR（Log-Likelihood Ratio，对数似然比）的贝叶斯网络是一种经典的贝叶斯网络结构，在该结构中，各节点的条件概率分布是基于LLR的，即将一个事件A作为正例，将另一个事件B作为负例，计算出两个事件的概率比值，然后取对数得到LLR值，最后根据该值来估计条件概率分布。这种基于LLR的贝叶斯网络结构在处理二分类问题时非常有效，尤其是当训练数据中的正例和负例数量不平衡时，它能够很好地处理这种情况。

相关问题

加权朴素贝叶斯算法原理

### 加权朴素贝叶斯算法工作原理

#### 定义与背景
加权朴素贝叶斯（Weighted Naive Bayes, WNB）是对传统朴素贝叶斯分类器的一种改进。在标准的朴素贝叶斯模型中，假设特征之间相互独立，并且每个特征对于预测目标类别的贡献相等。然而，在实际应用中，不同特征的重要性可能并不相同。因此，引入权重来调整各个特征的影响程度变得尤为重要。

#### 权重计算方法
为了实现这一点，WNB通过赋予每个属性不同的权重来进行更精确的概率估计。这些权重通常基于训练数据集中的统计特性而定。具体来说：

- 对于每一个类别 \( C_i \)，以及每一对特征 \( X_j \) 和其对应的取值范围内的某个特定值 \( v_{jk} \)，可以定义一个局部似然比作为该组合下的条件概率分布情况的一个度量指标；

\[ w(C_i,X_j=v_{jk})=\frac{P(X_j=v_{jk}|C_i)}{\sum_k P(X_j=v_{kj}|C_l)}, l\neq i \]

此处分子表示给定类别下某特征等于某一特定值的概率；分母则是除当前类别外其他所有类别条件下此特征具有同样数值的情况之和[^1]。

#### 预测过程
当接收到一个新的样本时，按照如下方式更新原始先验概率并做出最终决策：

1. 计算未加权版本下的后验概率 \( p'(C|X)=p(C)\prod_j^n p(x_j | C)^w \)，其中 \( n \) 是总的特征数量，\( w \) 表示相应位置上的预设或学习到的权重因子。

2. 将上述结果乘以由之前提到的方法得到的各项特征针对各候选标签所对应的具体权重值得到修正后的总得分。

3. 输出拥有最高分数的那个类别作为预测结果。

这种方法不仅保留了原有框架简单高效的特点，同时也提高了处理复杂模式识别任务的能力[^2]。

import numpy as np
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.naive_bayes import GaussianNB

class WeightedNaiveBayesClassifier(GaussianNB):
    def __init__(self, weights=None):
        super().__init__()
        self.weights = weights if isinstance(weights, dict) else {}

    def fit(self, X, y):
        unique_classes = set(y)
        for cls in unique_classes:
            mask = (y == cls)
            mean = X[mask].mean(axis=0)
            var = X[mask].var(axis=0)

            # Calculate local likelihood ratios based on training data.
            llr = {}
            for j in range(len(mean)):
                numerator = self._estimate_probability(X[:,j], mean[j], var[j])
                denominator_sum = sum([self._estimate_probability(X[y==c,j], m, v).sum() 
                                      for c,m,v in zip(unique_classes-{cls}, means, vars)])
                
                llr[f'{cls}_{j}'] = numerator / denominator_sum
            
            self.llrs_[cls] = llr
        
        return super().fit(X,y)

    @staticmethod
    def _estimate_probability(value, mu, sigma_sq):
        """Estimate probability using normal distribution."""
        exponent = -(np.power((value-mu), 2)/(2*sigma_sq))
        prob_density = (1/(np.sqrt(2*np.pi*sigma_sq))) * np.exp(exponent)
        return prob_density
    
    def predict_proba(self, X_test):
        probabilities = []
        
        for sample in X_test:
            scores_per_class = {cls: prior_prob for cls,prior_prob in enumerate(self.class_prior_)}
            
            for idx, feature_val in enumerate(sample):
                for cls,llr_dict in self.llrs_.items():
                    key = f"{cls}_{idx}"
                    
                    try:
                        weight_factor = llr_dict[key]
                        
                        cond_prob = self._estimate_probability(
                            value=feature_val,
                            mu=self.theta_[int(cls)][idx],
                            sigma_sq=self.sigma_[int(cls)][idx]+1e-9
                        )
                        
                        scores_per_class[cls] *= pow(cond_prob,weight_factor)
                        
                    except KeyError:
                        pass
                        
            total_score = sum(scores_per_class.values())
            normalized_scores = [score/total_score for score in scores_per_class.values()]
            
            probabilities.append(normalized_scores)
            
        return np.array(probabilities)


# Example usage with Iris dataset
data = load_iris()
X_train, y_train = data.data[:100,:], data.target[:100]
clf = WeightedNaiveBayesClassifier({0:{'setosa': {'sepal length (cm)': 1.5}}})
clf.fit(X_train, y_train)
print(clf.predict([[7., 3., 5., 2.]])[0])  # Predicting new instance's label

贝叶斯准则下信号检测matlab

### 基于贝叶斯准则的信号检测

在MATLAB中应用贝叶斯准则进行信号检测涉及几个关键步骤，包括定义先验概率、似然函数以及后验概率。下面提供了一个详细的指南和示例代码。

#### 定义问题模型
为了简化说明，假设存在两种可能的状态：无目标（H0）或有目标（H1）。对于接收到的数据\(y\)，如果来自噪声，则属于状态H0；如果是信号加噪声，则属于状态H1。根据贝叶斯决策理论，可以通过比较两个条件下的后验概率来决定最有可能的情况[^1]。

#### 计算先验概率
设P(H0)=p_0 和 P(H1)=p_1 表示事先知道这两种情况发生的可能性。通常情况下可以根据实际情况设定这些值，在缺乏具体信息时可假定两者相等即 p_0=p_1=0.5。

% Prior probabilities
p_H0 = 0.5; % Probability of hypothesis H0 (no signal present)
p_H1 = 0.5; % Probability of hypothesis H1 (signal is present)

#### 构建似然函数
接下来构建接收数据\(y\)下每种状态下观测的概率密度分布f(y|Hi)，这取决于具体的物理过程。这里采用高斯白噪声音频作为背景干扰源，并认为当且仅当确实发送了特定频率成分时才会观察到该频率上的功率增加。

function likelihood_ratio = compute_likelihood_ratio(signal, noise_var, freq_of_interest)
    % Compute the power spectral density using FFT
    Y = fftshift(abs(fft(signal)));
    
    % Define frequency axis based on length of input vector 'signal'
    N = length(signal);
    f_axis = (-N/2:N/2-1)/N;
    
    % Find index corresponding to our target frequency bin
    [~, idx] = min(abs(f_axis - freq_of_interest));
    
    % Calculate log-likelihood ratio assuming Gaussian distributions under both hypotheses
    mu_H0 = mean(Y); sigma_H0 = sqrt(noise_var);
    mu_H1 = max([mean(Y), abs(Y(idx))]); sigma_H1 = sqrt(noise_var + var(signal));

    llr_H0 = normpdf(Y(idx), mu_H0, sigma_H0);
    llr_H1 = normpdf(Y(idx), mu_H1, sigma_H1);

    likelihood_ratio = llr_H1 ./ llr_H0;
end

#### 应用贝叶斯公式求解后验概率并做出判断
最后一步就是利用贝叶斯法则计算给定测量结果后的后验概率：

\[ \text{Posterior}(H_i | y) = \frac{\text{Likelihood}(y | Hi)\cdot\text{Prior}(Hi)} {\sum_j [\text{Likelihood}(y | Hj)\cdot\text{Prior}(Hj)]} \]

然后选择具有最高后验概率的那个假设作为最终结论。

% Assume we have some received data stored in variable `received_signal`
noise_variance = estimate_noise_variance(received_signal); % Estimate from actual implementation details
freq_to_check = ... ; % Specify which frequency you want to test for presence

llratio = compute_likelihood_ratio(received_signal, noise_variance, freq_to_check);

post_prob_H1_given_y = llratio * p_H1 / ((llratio*p_H1)+p_H0);

if post_prob_H1_given_y >= 0.5
    disp('Signal detected!');
else
    disp('No significant detection.');
end

此流程展示了如何运用贝叶斯准则完成简单的二元假设检验任务。当然实际应用场景可能会更加复杂，涉及到更多维度的信息融合等问题[^4]。