基于遗传算法的机器人路径规划的数学模型

基于遗传算法的机器人路径规划的数学模型如下：

1.定义决策变量

设机器人需要经过的路径为 $P=\{p_1,p_2,...,p_n\}$，其中 $p_1$ 和 $p_n$ 分别表示起点和终点，$p_i$ 表示机器人在路径上经过的第 $i$ 个点。

2.定义目标函数

目标函数是机器人路径的总长度，即：

$$
f(P)=\sum_{i=1}^{n-1}d(p_i,p_{i+1})
$$

其中 $d(p_i,p_{i+1})$ 表示从点 $p_i$ 到点 $p_{i+1}$ 的距离。

3.定义约束条件

（1）起点和终点必须固定，即 $p_1$ 和 $p_n$ 不能改变。

（2）每个点只能经过一次，即：

$$
\sum_{i=1}^{n}x_{ij}=1,\ \ \ j=1,2,...,n
$$

其中 $x_{ij}$ 表示机器人是否经过点 $p_j$，若经过则为 1，否则为 0。

（3）避免出现子回路，即：

$$
\sum_{i\in S}\sum_{j\in S}x_{ij}\leq |S|-1,\ \ \ \forall S\subset \{2,3,...,n-1\}
$$

其中 $S$ 表示路径上的一个子集，$|S|$ 表示子集 $S$ 的元素个数。

4.定义遗传算法

（1）初始化种群

随机生成 $N$ 个初始路径，作为种群。

（2）选择操作

采用轮盘赌选择方法，根据适应度函数值选择 $N$ 个个体。

（3）交叉操作

采用部分匹配交叉（PMX）算法，对选择出的个体进行交叉操作，生成 $N$ 个新个体。

（4）变异操作

采用交换变异算法，对新个体进行变异操作。

（5）替换操作

将新个体替换掉原来的个体，得到新的种群。

（6）重复执行

重复执行选择、交叉、变异和替换操作，直到达到预设的终止条件。