python用牛顿法求解非线性方程组

在Python中，我们可以使用数值优化库如`scipy.optimize.root`中的`newton`函数来求解非线性方程组。牛顿法（也称为牛顿-拉弗森法）是一种迭代算法，它基于泰勒级数近似来逼近函数零点。这种方法适用于连续可微的方程组。

以下是使用牛顿法求解非线性方程组的基本步骤：

1. 导入所需模块：

from scipy.optimize import newton
import numpy as np

2. 定义目标函数和它的雅克比矩阵（梯度向量）：

def equations(x):
    # 这里x是一个向量，equations应该返回一个同样长度的向量，表示每个方程的结果
    eqn1 = x[0]**2 - x[1] - 1
    eqn2 = x[2] - x[0]**3 + 2*x[1]
    return [eqn1, eqn2]

def jacobian(x):
    jac = np.array([
        [2 * x[0], -1],
        [-3 * x[0]**2 + 2, 1]
    ])
    return jac

3. 使用`newton`函数求解：

initial_guess = np.array([1., 1., 1.])  # 初始猜测解
solution = newton(equations, initial_guess, Jacobian=jacobian)

这里`Jacobian`参数是自定义函数，提供目标函数的雅克比矩阵，因为`newton`函数默认仅接受函数值，而不包括其导数信息。