实现背包公钥密码算法

背包公钥密码算法是一种基于背包问题的公钥密码体制，其加密和解密过程都只涉及加法和模2的除法运算，因此具有很快的加解密速度，而且易于软硬件实现。下面是一个简单的背包公钥密码算法的实现过程：

1.密钥生成

（1）选择一个超递增背包序列w=(w1,w2,...,wn)，其中w1=1。

（2）选择一个模数m，使得m大于w中的最大值。

（3）选择一个整数r，使得r和m互质。

（4）计算公钥b=(b1,b2,...,bn)，其中bi=riwi mod m。

（5）将w和r保密，b作为公钥，(w,r,m)作为私钥。

2.加密

（1）将明文转换为二进制串，记为x=(x1,x2,...,xn)。

（2）计算密文c=sum(xi*bi)，i=1,2,...,n。

3.解密

（1）计算r的逆元r'，使得rr' mod m=1。

（2）计算c'=(cr') mod m。

（3）使用背包问题的求解算法，求解c'对应的背包问题，得到二进制串y=(y1,y2,...,yn)。

（4）将y转换为明文。

下面是一个Python实现的例子：

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)

def extended_gcd(a, b):
    if b == 0:
        return (a, 1, 0)
    else:
        d, x, y = extended_gcd(b, a % b)
        return (d, y, x - (a // b) * y)

def generate_key(n):
    w = [1]
    s = 1
    for i in range(n):
        t = random.randint(s + 1, 2 * s)
        w.append(t)
        s += t
    m = s + random.randint(1, s)
    r = random.randint(1, m - 1)
    while gcd(r, m) != 1:
        r = random.randint(1, m - 1)
    b = [(r * x) % m for x in w]
    return (w, b, r, m)

def encrypt(msg, b):
    x = [int(c) for c in bin(int.from_bytes(msg.encode(), 'big'))[2:]]
    c = sum([x[i] * b[i] for i in range(len(x))])
    return c

def decrypt(c, w, r, m):
    r_inv = extended_gcd(r, m)[1]
    c_prime = (c * r_inv) % m
    y = [0] * len(w)
    for i in range(len(w) - 1, -1, -1):
        if c_prime >= w[i]:
            y[i] = 1
            c_prime -= w[i]
    msg = bytes([int(''.join([str(y[i]) for i in range(j, j + 8)]), 2) for j in range(0, len(y), 8)]).decode()
    return msg