Aragorn 树链剖分

时间: 2023-11-26 07:05:34 浏览: 94
Aragorn 树链剖分是一种将一棵树剖分为若干条链的算法,然后利用数据结构去维护每一条链的技术。剖分完毕后,每条重链相当于一段区间,然后可以使用数据结构去维护整个树。具体过程是通过两次深度优先搜索来实现的:第一次DFS找出每个节点的子树大小和重儿子,第二次DFS连接重边形成重链。在重链上的节点使用数据结构维护,而不在当前重链上的节点,重新拉一条重链并维护。这样可以实现对树进行高效的查询和修改操作。
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预处理 第一遍dfs求出树每个结点的深度deep[x],其为根的子树大小size[x] 以及祖先的信息fa[x][i]表示x往上距离为2^i的祖先 第二遍dfs ž根节点为起点,向下拓展构建重链 选择最大的一个子树的根继承当前重链 其余节点,都以该节点为起点向下重新拉一条重链 ž给每个结点分配一个位置编号,每条重链就相当于一段区间,用数据结构去维护。 把所有的重链首尾相接,放到同一个数据结构上,然后维护这一个整体即可 修改操作 ž1、单独修改一个点的权值 根据其编号直接在数据结构中修改就行了。 2、修改点u和点v的路径上的权值 (1)若u和v在同一条重链上 直接用数据结构修改pos[u]至pos[v]间的值。 (2)若u和v不在同一条重链上 一边进行修改,一边将u和v往同一条重链上靠,然后就变成了情况(1)。 伪代码 CHANGE (x, y ,d) while top[x]≠top[y] do if dep[top[x]]<dep[top[y]] then SWAP(x,y), SWAP (gx,gy) CHANGE-IT(tid[top[x]],tid[x],d) fa[x]→x if dep[x]>dep[y] then SWAP (x,y) CHANGE-IT(tid[x],tid[y],d) //CHANGE-IT(l,r,d)为数据结构的修改操作:将区间[l,r]上的所有权值改为d 查询操作 ž查询操作的分析过程同修改操作 伪代码 QUERY (x, y) while top[x]≠top[y] do if dep[top[x]]<dep[top[y]] then SWAP (x,y), SWAP (gx,gy) QUERY-IT(tid[top[x]],tid[x]) fa[x]→x if dep[x]>dep[y] then SWAP (x,y) QUERY-IT(tid[x],tid[y]) //QUERY-IT(l,r)为数据结构的查询操作, 题目不同,选用不同的数据结构来维护值,通常有线段树和splay [2]
cpp
#include <cstdio> #include <iostream> #include <vector> #define N 30003 #define INF 2147483647 using namespace std; int n,f[N][20],dep[N],siz[N],son[N],top[N],tot,pos[N],w[N]; int Max[N*4],Sum[N*4]; vector <int> to[N]; void dfs1(int x){ siz[x]=1; int sz=to[x].size(); for(int i=0;i<sz;++i){ int y=to[x][i]; if(y==f[x][0])continue; f[y][0]=x; dep[y]=dep[x]+1; dfs1(y); siz[x]+=siz[y]; if(siz[y]>siz[son[x]])son[x]=y; } } void dfs2(int x,int root){ top[x]=root; pos[x]=++tot; if(son[x])dfs2(son[x],root); int sz=to[x].size(); for(int i=0;i<sz;++i){ int y=to[x][i]; if(y==f[x][0] || y==son[x])continue; dfs2(y,y); } } void update(int k,int l,int r,int P,int V){ if(l==r){ Max[k]=Sum[k]=V; return; } int mid=(l+r)>>1; if(P<=mid)update(k*2,l,mid,P,V); else update(k*2+1,mid+1,r,P,V); Max[k]=max(Max[k*2],Max[k*2+1]); Sum[k]=Sum[k*2]+Sum[k*2+1]; } void up(int &x,int goal){ for(int i=15;i>=0;--i) if(dep[f[x][i]]>=goal)x=f[x][i]; } int lca(int x,int y){ if(dep[x]>dep[y])up(x,dep[y]); if(dep[x]<dep[y])up(y,dep[x]); if(x==y)return x; for(int i=15;i>=0;--i) if(f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i]; return f[x][0]; } int getm(int k,int l,int r,int L,int R){ if(L<=l && r<=R)return Max[k]; int res=-INF,mid=(l+r)>>1; if(L<=mid)res=max(res,getm(k*2,l,mid,L,R)); if(R>mid)res=max(res,getm(k*2+1,mid+1,r,L,R)); return res; } int gets(int k,int l,int r,int L,int R){ if(L<=l && r<=R)return Sum[k]; int res=0,mid=(l+r)>>1; if(L<=mid)res+=gets(k*2,l,mid,L,R); if(R>mid)res+=gets(k*2+1,mid+1,r,L,R); return res; } int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=1,a,b;i<n;++i){ scanf("%d%d",&a,&b); to[a].push_back(b); to[b].push_back(a); } dep[1]=1; dfs1(1); dfs2(1,1); for(int i=1;i<=15;++i) for(int j=1;j<=n;++j)f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1]; for(int i=1;i<=n;++i){ scanf("%d",&w[i]); update(1,1,n,pos[i],w[i]); } int q; scanf("%d",&q); while(q--){ char s[10]; int u,v,t; scanf("%s",s); if(s[1]=='H'){ scanf("%d%d",&u,&t); w[u]=t; update(1,1,n,pos[u],t); } if(s[1]=='M'){ scanf("%d%d",&u,&v); int ans=-INF,t=lca(u,v); for(int i=u;i;i=f[top[i]][0]) if(dep[t]<dep[top[i]]) ans=max(ans,getm(1,1,n,pos[top[i]],pos[i])); else{ ans=max(ans,getm(1,1,n,pos[t],pos[i])); break; } for(int i=v;i;i=f[top[i]][0]) if(dep[t]<dep[top[i]]) ans=max(ans,getm(1,1,n,pos[top[i]],pos[i])); else{ ans=max(ans,getm(1,1,n,pos[t],pos[i])); break; } printf("%d\n",ans); } if(s[1]=='S'){ scanf("%d%d",&u,&v); int ans=0,t=lca(u,v); for(int i=u;i;i=f[top[i]][0]) if(dep[t]<dep[top[i]]) ans+=gets(1,1,n,pos[top[i]],pos[i]); else{ ans+=gets(1,1,n,pos[t],pos[i]); break; } for(int i=v;i;i=f[top[i]][0]) if(dep[t]<dep[top[i]]) ans+=gets(1,1,n,pos[top[i]],pos[i]); else{ ans+=gets(1,1,n,pos[t],pos[i]); break; } printf("%d\n",ans-w[t]); } } }

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