c 7-1 组合数的和

题目描述：

求$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ... + C_{n}^{n}$的值，其中 $n\leq 30$。

解题思路：

利用组合数的性质，有$C_{n}^{k} = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}$，因此有：

$$
\begin{aligned}
\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} &= \sum_{k=0}^{n} (C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}) \\
&= \sum_{k=1}^{n} C_{n-1}^{k-1} + \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^{k} \\
&= \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^{k} + \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^{k} \\
&= 2\sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^{k} \\
\end{aligned}
$$

上式中，第三个等式是因为将第一个求和式的下标从 $k=1$ 改为了 $k=0$，第四个等式是因为两个求和式相同。

因此，我们只需要递归计算 $C_{n}^{k}$ 并求和即可。

代码实现：

相关问题

C语言 写组合数的和

组合数的和指的是从给定的集合中选择若干个元素组成的组合的数量之和。假设给定的集合为{1,2,3,...,n}，那么组合数的和可以表示为以下的公式：

C(n,1) + C(n,2) + C(n,3) + ... + C(n,n)

其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，其计算公式为：

C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)

以下是使用C语言实现组合数的和的代码：

#include <stdio.h>

int combination(int n, int k) {
    if (k == 0 || k == n) {
        return 1;
    } else {
        return combination(n-1, k-1) + combination(n-1, k);
    }
}

int main() {
    int n;
    printf("请输入n的值：");
    scanf("%d", &n);

    int sum = 0;
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
        sum += combination(n, k);
    }

    printf("组合数的和为：%d\n", sum);

    return 0;
}

该程序使用递归方式实现了组合数的计算，并通过循环来计算组合数的和。运行程序后，输入n的值即可得到组合数的和。

C语言动态规划求组合数

动态规划是一种优化算法，可以用来求解很多组合问题，包括组合数问题。下面是使用动态规划求解组合数的C语言代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main() {
    int n, m, i, j;
    scanf("%d %d", &n, &m);

    int **dp = (int **)malloc(sizeof(int *) * (n + 1));
    for (i = 0; i <= n; i++) {
        dp[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * (m + 1));
    }

    for (i = 0; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = 1;
    }

    for (i = 1; i <= n; i++) {
        for (j = 1; j <= m; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j];
        }
    }

    printf("%d\n", dp[n][m]);

    for (i = 0; i <= n; i++) {
        free(dp[i]);
    }
    free(dp);

    return 0;
}

运行程序后，输入n和m的值，即可得到组合数C(n,m)的结果。其中，dp[i][j]表示从i个元素中选出j个元素的组合数。```dp[i][0]```的值都为1，因为从i个元素中选出0个元素只有一种情况，即不选。接下来，根据组合数的递推公式：C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，使用动态规划求解。最终，dp[n][m]即为所求的组合数。