奇异值分解（SVD）求矩阵的逆矩阵

根据引用，我们知道矩阵分解的本质是将原本复杂的矩阵分解成对应的几个简单矩阵的乘积的形式，使得矩阵分析起来更加简单。其中，奇异值分解（SVD）是一种常用的矩阵分解方法，可将任意矩阵分解成三个矩阵的乘积形式：$A=U \Sigma V^{T}$，其中$U$是正交矩阵，$\Sigma$是对角矩阵，$V^{T}$是正交矩阵的转置矩阵。

那么对于一个非奇异矩阵$A$，它的逆矩阵$A^{-1}$可以通过其奇异值分解求解。具体来说，我们可以将$A$分解成$A=U \Sigma V^{T}$的形式，然后对$\Sigma$中的每个非零元素取倒数，得到$\Sigma^{+}$。最后，我们可以计算逆矩阵$A^{-1}$为$A^{-1}=V \Sigma^{+} U^{T}$。

代码演示如下，假设我们要求解矩阵$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$的逆矩阵：

import numpy as np

# 奇异值分解
U, s, V_T = np.linalg.svd(A)
# 构建对角矩阵Sigma
Sigma = np.zeros((A.shape, A.shape))
Sigma[:A.shape, :A.shape] = np.diag(s)
# 计算逆矩阵
Sigma_plus = np.zeros((A.shape, A.shape))
Sigma_plus[:A.shape, :A.shape] = np.linalg.inv(Sigma[:A.shape, :A.shape])
A_inv = V_T.T.dot(Sigma_plus).dot(U.T)

print(A_inv)

输出结果为：

[[-1.23333333  0.46666667  0.3       ]
 [ 1.16666667 -0.33333333 -0.16666667]
 [-0.1         0.13333333  0.03333333]]