举例 微积分 拉格朗日方程_Euler-Lagrange Equation (欧拉-拉格朗日方程)推导

好的，我可以为您讲解一下拉格朗日方程的推导过程，以一维情况为例。

假设一个质点在一维坐标系上运动，其位置用 $q$ 表示，时间用 $t$ 表示。该质点的运动可以用拉格朗日函数 $L(q, \dot{q}, t)$ 描述，其中 $\dot{q}=\frac{dq}{dt}$ 表示质点的速度。

为了推导欧拉-拉格朗日方程，我们首先需要定义一个重要的量，即作用量 $S$。作用量定义为

$$S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) dt$$

其中 $t_1$ 和 $t_2$ 表示质点运动的起点和终点。作用量可以理解为一个积分，它是拉格朗日函数在时间 $t_1$ 到 $t_2$ 内的时间积分。

接下来，我们需要考虑如何对作用量进行变分。变分是一种数学操作，它类似于求导，但是是对函数进行微小的偏移，即对函数进行微小的扰动。对于一个作用量 $S$，其变分可以表示为

$$\delta S = S[q+\delta q] - S[q]$$

其中 $\delta q$ 表示对 $q$ 进行微小的扰动。

现在我们来考虑如何对作用量进行变分。首先，我们将作用量中的积分拆开，得到

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} \right) dt$$

其中第一个式子中的 $\frac{\partial L}{\partial q}$ 表示对 $L$ 关于 $q$ 的偏导数，第二个式子中的 $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ 表示对 $L$ 关于 $\dot{q}$ 的偏导数。

现在我们需要将 $\delta \dot{q}$ 转化为 $\delta q$。由于 $\dot{q}=\frac{dq}{dt}$，我们可以得到

$$\delta \dot{q} = \frac{d}{dt} \delta q$$

将上式代入到 $\delta S$ 中，得到

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \frac{d}{dt} \delta q \right) dt$$

接下来，我们需要对第二个式子进行分部积分，得到

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \delta q dt + \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right]_{t_1}^{t_2}$$

现在我们需要对第二个式子进行讨论。由于质点在运动时，其位置 $q$ 和速度 $\dot{q}$ 在起点和终点上都是确定的，因此 $\delta q$ 在 $t_1$ 和 $t_2$ 处的值都应该为 0。因此，第二个式子等于 0。

最终，我们得到了欧拉-拉格朗日方程：

$$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0$$

这个方程描述了质点的运动。如果我们能够求出拉格朗日函数 $L$，那么欧拉-拉格朗日方程就可以帮助我们计算质点的运动。