对任意的x,y，x²+y²-xy=1成立，则有()。A.x+y<=1 B.x+y>=-2 C.x²+y²<=2 D.x²+y²>=1

### 回答1：
要使等式x²y²-xy=1成立，我们可以先将其变形为：

xy = (x²y² - 1) / x

然后，如果我们令u = xy，则可以将该等式进一步简化为：

u² - xu - 1 = 0

然后，我们可以使用二次方程的求解公式解出u的值：

u = (x ± sqrt(x² + 4)) / 2

因为u等于xy，所以我们可以得到：

xy = (x ± sqrt(x² + 4)) / 2

由于方程中的变量x和y是对称的，我们可以通过将x和y交换来得到：

yx = (y ± sqrt(y² + 4)) / 2

然后，我们可以将两个方程相乘，得到：

xyyx = (x²y² + xy sqrt(y² + 4) + y²x sqrt(x² + 4) + 2sqrt(x² + 4)sqrt(y² + 4)) / 4

因为x²y² - xy = 1，所以我们可以用1 / xy替换xy，得到：

y² + 4 = (4 - x²y²) / x²

同样地，我们可以使用1 / yx替换yx，得到：

x² + 4 = (4 - x²y²) / y²

现在我们来考虑选项：

A. xy ≤ 1
B. xy ≥ -2
C. x²y² ≤ 2
D. x²y² ≥ 1

首先，由于xy等于一个正数除以另一个正数，所以xy一定是正的。因此，选项B不成立。

然后，我们来看选项A和C。我们可以将它们组合起来：

xy ≤ 1 ⇒ x²y² ≤ xy ≤ 1

因此，选项C成立。

最后，我们来看选项D。我们可以将它表示为：

x²y² ≥ 1 ⇒ 4 - x²y² ≤ 3 ⇒ (y² + 4)(x² + 4) ≤ 3x²y²

然后，我们可以将y² + 4和x² + 4用之前推导出来的式子代替：

[(4 - x²y²) / x²][(4 - x²y²) / y²] ≤ 3

我们可以将其展开，得到：

16 - 8x²y² + x⁴y⁴ ≤ 3x²y²

然后，我们可以将x²y²用1 + xy代替：

16 - 8(1 + xy) + (1 + xy)² ≤ 3(1 + xy)

然后，我们可以将其展开和简化，得到：

xy(2xy - 5) ≤ 0

因为xy是正数，所以我们可以得到：

2xy - 5 ≤ 0

xy ≤ 5/2

因此，选项D不成立。

综上所述，只有选项C成立。

### 回答2：
对任意的x，y，x² y²-xy=1成立。我们需要找到这个方程的一组解，并通过这组解来判断哪个不等式成立。

首先我们令x=y=1，代入方程得到：
(1)² (1)²- (1)(1) = 1-1 = 0 ≠ 1，所以A选项不合适。

然后我们令x=y=-1，代入方程得到：
(-1)² (-1)²- (-1)(-1) = 1-1 = 0 ≠ 1，所以B选项不合适。

接下来我们令x=1，y=-1，代入方程得到：
(1)² (-1)² - (1)(-1) = 1-1 = 0 ≠ 1，所以C选项不合适。

最后我们令x=-1，y=1，代入方程得到：
(-1)² (1)² - (-1)(1) = 1- (-1) = 1+1 = 2 = 1，所以D选项成立。

综上，对任意的x，y，x² y²-xy=1成立时，有D选项成立，即x² y²≥1。

### 回答3：
假设对于任意的x,y，x²y²-xy=1成立。

我们可以对这个方程做变形，得到(x²-1)(y²-1)=0。

根据乘法公式，当 (x²-1)(y²-1)=0 时，意味着 x²-1=0 或者 y²-1=0。

解这两个方程可得 x=±1 或者 y=±1。

将 x=±1 或者 y=±1 代入原方程 x²y²-xy=1，得到：

当 x=1时，1²y²-y=1，化简得 y²-y=0，解得 y(y-1)=0，所以 y=0 或者 y=1。

当 x=-1时，(-1)²y²+y=1，化简得 y²+y=0，解得 y(y+1)=0，所以 y=0 或者 y=-1。

综上所述，当 x=±1 时，y=0 或者 y=1；当 y=±1 时，x=0 或者 x=1。

所以该方程的解为 x=±1，y=0 或者 y=1；以及 x=0 或者 x=1，y=±1。

综上所述，对于任意的x,y，x²y²-xy=1成立时，有 C.x²y²<=2。选项C正确。