对任意的x,y,x²+y²-xy=1成立,则有()。A.x+y<=1 B.x+y>=-2 C.x²+y²<=2 D.x²+y²>=1
时间: 2023-09-07 19:04:49 浏览: 398
2020高二数学 3.4基本不等式(1) 暑期同步练习 新人教A版必修5.doc
### 回答1:
要使等式x²y²-xy=1成立,我们可以先将其变形为:
xy = (x²y² - 1) / x
然后,如果我们令u = xy,则可以将该等式进一步简化为:
u² - xu - 1 = 0
然后,我们可以使用二次方程的求解公式解出u的值:
u = (x ± sqrt(x² + 4)) / 2
因为u等于xy,所以我们可以得到:
xy = (x ± sqrt(x² + 4)) / 2
由于方程中的变量x和y是对称的,我们可以通过将x和y交换来得到:
yx = (y ± sqrt(y² + 4)) / 2
然后,我们可以将两个方程相乘,得到:
xyyx = (x²y² + xy sqrt(y² + 4) + y²x sqrt(x² + 4) + 2sqrt(x² + 4)sqrt(y² + 4)) / 4
因为x²y² - xy = 1,所以我们可以用1 / xy替换xy,得到:
y² + 4 = (4 - x²y²) / x²
同样地,我们可以使用1 / yx替换yx,得到:
x² + 4 = (4 - x²y²) / y²
现在我们来考虑选项:
A. xy ≤ 1
B. xy ≥ -2
C. x²y² ≤ 2
D. x²y² ≥ 1
首先,由于xy等于一个正数除以另一个正数,所以xy一定是正的。因此,选项B不成立。
然后,我们来看选项A和C。我们可以将它们组合起来:
xy ≤ 1 ⇒ x²y² ≤ xy ≤ 1
因此,选项C成立。
最后,我们来看选项D。我们可以将它表示为:
x²y² ≥ 1 ⇒ 4 - x²y² ≤ 3 ⇒ (y² + 4)(x² + 4) ≤ 3x²y²
然后,我们可以将y² + 4和x² + 4用之前推导出来的式子代替:
[(4 - x²y²) / x²][(4 - x²y²) / y²] ≤ 3
我们可以将其展开,得到:
16 - 8x²y² + x⁴y⁴ ≤ 3x²y²
然后,我们可以将x²y²用1 + xy代替:
16 - 8(1 + xy) + (1 + xy)² ≤ 3(1 + xy)
然后,我们可以将其展开和简化,得到:
xy(2xy - 5) ≤ 0
因为xy是正数,所以我们可以得到:
2xy - 5 ≤ 0
xy ≤ 5/2
因此,选项D不成立。
综上所述,只有选项C成立。
### 回答2:
对任意的x,y,x² y²-xy=1成立。我们需要找到这个方程的一组解,并通过这组解来判断哪个不等式成立。
首先我们令x=y=1,代入方程得到:
(1)² (1)²- (1)(1) = 1-1 = 0 ≠ 1,所以A选项不合适。
然后我们令x=y=-1,代入方程得到:
(-1)² (-1)²- (-1)(-1) = 1-1 = 0 ≠ 1,所以B选项不合适。
接下来我们令x=1,y=-1,代入方程得到:
(1)² (-1)² - (1)(-1) = 1-1 = 0 ≠ 1,所以C选项不合适。
最后我们令x=-1,y=1,代入方程得到:
(-1)² (1)² - (-1)(1) = 1- (-1) = 1+1 = 2 = 1,所以D选项成立。
综上,对任意的x,y,x² y²-xy=1成立时,有D选项成立,即x² y²≥1。
### 回答3:
假设对于任意的x,y,x²y²-xy=1成立。
我们可以对这个方程做变形,得到(x²-1)(y²-1)=0。
根据乘法公式,当 (x²-1)(y²-1)=0 时,意味着 x²-1=0 或者 y²-1=0。
解这两个方程可得 x=±1 或者 y=±1。
将 x=±1 或者 y=±1 代入原方程 x²y²-xy=1,得到:
当 x=1时,1²y²-y=1,化简得 y²-y=0,解得 y(y-1)=0,所以 y=0 或者 y=1。
当 x=-1时,(-1)²y²+y=1,化简得 y²+y=0,解得 y(y+1)=0,所以 y=0 或者 y=-1。
综上所述,当 x=±1 时,y=0 或者 y=1;当 y=±1 时,x=0 或者 x=1。
所以该方程的解为 x=±1,y=0 或者 y=1;以及 x=0 或者 x=1,y=±1。
综上所述,对于任意的x,y,x²y²-xy=1成立时,有 C.x²y²<=2。选项C正确。
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