u是一个三维向量场,在直角坐标系下,求证-△u=▽×▽×u-▽(▽·u)

时间: 2023-06-01 10:02:02 浏览: 49
为了证明这个恒等式,我们需要使用向量分析中的柯西-黎曼方程和矢量恒等式。 首先,我们考虑左边的-△u,它可以表示为: -△u = -div(grad(u)) 其中,grad(u)表示u的梯度,div表示散度操作,-表示负号。 根据柯西-黎曼方程,我们有: curl(curl(u)) = grad(div(u)) - △u 其中,curl表示旋度操作。 将上式中的-△u代入原恒等式,得到: curl(curl(u)) + ▽(▽·u) = curl(curl(u)) + grad(div(u)) - ▽u 再根据矢量恒等式,我们有: curl(curl(u)) = grad(div(u)) - ▽×u 将上式代入前面的式子,得到: grad(div(u)) - ▽×u + ▽(▽·u) = grad(div(u)) - ▽×▽×u 化简可得: -▽×u + ▽(▽·u) = -▽×▽×u 因此,原恒等式成立。
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Python画一个三维的直角坐标系,只要坐标系不要背景图

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-△u+u^3=1的Matlab编程求解

对于二维的偏微分方程 $-\Delta u+u^3=1$,可以使用有限差分法进行求解。以下是一种 Matlab 编程求解的方法: ```matlab % 定义区域大小和步长 L = 1; % 区域大小 N = 100; % 离散点数 h = L/N; % 空间步长 T = 10; % 模拟时间 M = 10000; % 时间步数 dt = T/M; % 时间步长 % 初始化解 u = zeros(N+1, N+1); % N+1个点,包括边界点 u_new = u; % 设定初始条件和边界条件 u(ceil(N/2), ceil(N/2)) = 1; % 中心点初始化为1 u(:, 1) = 0; % 左边界 u(:, end) = 0; % 右边界 u(1, :) = 0; % 上边界 u(end, :) = 0; % 下边界 % 迭代求解 for n = 1:M for i = 2:N for j = 2:N % 中心差分格式求解 u_new(i, j) = u(i, j) + dt*(1 - u(i, j)^3 - (u(i+1, j)-2*u(i, j)+u(i-1, j))/h^2 - (u(i, j+1)-2*u(i, j)+u(i, j-1))/h^2); end end u = u_new; end % 可视化结果 x = linspace(0, L, N+1); y = linspace(0, L, N+1); [X, Y] = meshgrid(x, y); surf(X, Y, u); xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('u'); ``` 在 Matlab 中运行上述代码,可以得到解的可视化结果。注意,该程序中使用了 Forward Euler 方法进行时间离散化,因此需要控制时间步长 $\Delta t$ 的大小以保证数值稳定性。

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