u是一个三维向量场,在直角坐标系下,求证-△u=▽×▽×u-▽(▽·u)
时间: 2023-06-01 10:02:02 浏览: 49
为了证明这个恒等式,我们需要使用向量分析中的柯西-黎曼方程和矢量恒等式。
首先,我们考虑左边的-△u,它可以表示为:
-△u = -div(grad(u))
其中,grad(u)表示u的梯度,div表示散度操作,-表示负号。
根据柯西-黎曼方程,我们有:
curl(curl(u)) = grad(div(u)) - △u
其中,curl表示旋度操作。
将上式中的-△u代入原恒等式,得到:
curl(curl(u)) + ▽(▽·u) = curl(curl(u)) + grad(div(u)) - ▽u
再根据矢量恒等式,我们有:
curl(curl(u)) = grad(div(u)) - ▽×u
将上式代入前面的式子,得到:
grad(div(u)) - ▽×u + ▽(▽·u) = grad(div(u)) - ▽×▽×u
化简可得:
-▽×u + ▽(▽·u) = -▽×▽×u
因此,原恒等式成立。
相关问题
Python画一个三维的直角坐标系,只要坐标系不要背景图
可以使用Python中的mpl_toolkits.mplot3d库来画一个三维的直角坐标系。下面是一个示例代码:
```python
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
# 创建一个三维坐标系
fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
# 设置x轴和y轴的范围
ax.set_xlim(-10, 10)
ax.set_ylim(-10, 10)
# 绘制x轴和y轴
ax.plot([0, 0], [-10, 10], [0, 0], color='black')
ax.plot([-10, 10], [0, 0], [0, 0], color='black')
ax.plot([0, 0], [0, 0], [-10, 10], color='black')
# 添加标签
ax.set_xlabel('x轴')
ax.set_ylabel('y轴')
ax.set_zlabel('z轴')
# 显示图形
plt.show()
```
这段代码将会绘制一个三维的直角坐标系,其中包括x轴、y轴和z轴。你可以根据需要更改代码来绘制自己的三维直角坐标系。
-△u+u^3=1的Matlab编程求解
对于二维的偏微分方程 $-\Delta u+u^3=1$,可以使用有限差分法进行求解。以下是一种 Matlab 编程求解的方法:
```matlab
% 定义区域大小和步长
L = 1; % 区域大小
N = 100; % 离散点数
h = L/N; % 空间步长
T = 10; % 模拟时间
M = 10000; % 时间步数
dt = T/M; % 时间步长
% 初始化解
u = zeros(N+1, N+1); % N+1个点,包括边界点
u_new = u;
% 设定初始条件和边界条件
u(ceil(N/2), ceil(N/2)) = 1; % 中心点初始化为1
u(:, 1) = 0; % 左边界
u(:, end) = 0; % 右边界
u(1, :) = 0; % 上边界
u(end, :) = 0; % 下边界
% 迭代求解
for n = 1:M
for i = 2:N
for j = 2:N
% 中心差分格式求解
u_new(i, j) = u(i, j) + dt*(1 - u(i, j)^3 - (u(i+1, j)-2*u(i, j)+u(i-1, j))/h^2 - (u(i, j+1)-2*u(i, j)+u(i, j-1))/h^2);
end
end
u = u_new;
end
% 可视化结果
x = linspace(0, L, N+1);
y = linspace(0, L, N+1);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
surf(X, Y, u);
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('u');
```
在 Matlab 中运行上述代码,可以得到解的可视化结果。注意,该程序中使用了 Forward Euler 方法进行时间离散化,因此需要控制时间步长 $\Delta t$ 的大小以保证数值稳定性。