least squares problem is underdetermined

最小二乘问题指的是将一个向量表示为一些列向量的线性组合的形式，使得这个向量与这些列向量的误差平方和最小。当这个问题的列向量数量小于向量维度时，我们称之为“欠定”。欠定的最小二乘问题的解不唯一，因为该问题存在多个解，且可能存在无解的情况，这就是说，可以有不同的线性组合方案来得到相同的误差平方和。因此，对于欠定的最小二乘问题，必须设定适当的附加条件来得到唯一的解，这些条件也被称为约束条件。

在实际应用中，欠定的最小二乘问题经常出现。例如，在信号处理中，我们经常需要恢复丢失的信号，但是我们可能只有一部分有用的信息和有限的采样数据。此时，我们需要用最小二乘问题来拟合信号，并设定适当的约束条件，以确保解的唯一性。在机器学习和数据分析中，最小二乘问题也被广泛应用于拟合模型和估计参数。

在解决欠定的最小二乘问题时，通常需要使用正则化方法来进一步限制解的范围，以确保解的唯一性。例如，岭回归和奇异值分解等方法都可以用于解决欠定的最小二乘问题。此外，还可以使用稀疏性先验来限制解的范围，以减少不必要的维度和复杂度，从而提高模型的可解释性和预测性能。

因此，欠定的最小二乘问题和其解法是机器学习和数据分析中的重要问题，值得我们深入研究和掌握。